10.2. 二分查找边界¶
上一节规定目标元素在数组中是唯一的。如果目标元素在数组中多次出现，上节介绍的方法只能保证返回其中一个目标元素的索引，而无法确定该索引的左边和右边还有多少目标元素。
为了查找最左一个 target ，我们可以先进行二分查找，找到任意一个目标元素，再加一个向左遍历的线性查找，找到最左的 target 返回即可。然而，由于加入了线性查找，这个方法的时间复杂度可能会劣化至 \(O(n)\) 。
Fig. 线性查找最左元素
10.2.1. 查找最左一个元素¶
查找并返回元素 target 在有序数组 nums 中首次出现的索引。若数组中不包含该元素，则返回 \(-1\) 。数组可能包含重复元素。
实际上，我们可以仅通过二分查找解决以上问题。方法的整体框架不变，先计算中点索引 m ，再判断 target 和 nums[m] 大小关系：
- 当
nums[m] < target或nums[m] > target时，说明还没有找到target，因此采取与上节代码相同的缩小区间操作。 - 当
nums[m] == target时，说明找到了一个目标元素，此时应该如何缩小区间？
对于该情况，我们可以将查找目标想象为 leftarget，其中 leftarget 表示从右到左首个小于 target 的元素。具体来说：
- 当
nums[m] == target时，说明leftarget在区间[i, m - 1]中，因此采用j = m - 1来缩小区间，从而使指针j向leftarget收缩靠近。 - 二分查找完成后，
i指向最左一个target，j指向leftarget，因此最终返回索引i即可。
注意，数组可能不包含目标元素 target 。因此在函数返回前，我们需要先判断 nums[i] 与 target 是否相等。另外，当 target 大于数组中的所有元素时，索引 i 会越界，因此也需要额外判断。
binary_search_edge.java
/* 二分查找最左一个元素 */
int binarySearchLeftEdge(int[] nums, int target) {
int i = 0, j = nums.length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
while (i <= j) {
int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
if (nums[m] < target)
i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
else if (nums[m] > target)
j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
else
j = m - 1; // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
}
if (i == nums.length || nums[i] != target)
return -1; // 未找到目标元素，返回 -1
return i;
}
binary_search_edge.cpp
/* 二分查找最左一个元素 */
int binarySearchLeftEdge(vector<int> &nums, int target) {
int i = 0, j = nums.size() - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
while (i <= j) {
int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
if (nums[m] < target)
i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
else if (nums[m] > target)
j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
else
j = m - 1; // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
}
if (i == nums.size() || nums[i] != target)
return -1; // 未找到目标元素，返回 -1
return i;
}
binary_search_edge.py
def binary_search_left_edge(nums: list[int], target: int) -> int:
"""二分查找最左一个元素"""
# 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
i, j = 0, len(nums) - 1
while i <= j:
m = (i + j) // 2 # 计算中点索引 m
if nums[m] < target:
i = m + 1 # 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
elif nums[m] > target:
j = m - 1 # 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
else:
j = m - 1 # 此情况说明首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
if i == len(nums) or nums[i] != target:
return -1 # 未找到目标元素，返回 -1
return i
10.2.2. 查找最右一个元素¶
类似地，我们也可以二分查找最右一个元素。设首个大于 target 的元素为 rightarget 。
- 当
nums[m] == target时，说明rightarget在区间[m + 1, j]中，因此执行i = m + 1将搜索区间向右收缩。 - 完成二分后，
i指向rightarget，j指向最右一个target，因此最终返回索引j即可。
binary_search_edge.java
/* 二分查找最右一个元素 */
int binarySearchRightEdge(int[] nums, int target) {
int i = 0, j = nums.length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
while (i <= j) {
int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
if (nums[m] < target)
i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
else if (nums[m] > target)
j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
else
i = m + 1; // 首个大于 target 的元素在区间 [m+1, j] 中
}
if (j < 0 || nums[j] != target)
return -1; // 未找到目标元素，返回 -1
return j;
}
binary_search_edge.cpp
/* 二分查找最右一个元素 */
int binarySearchRightEdge(vector<int> &nums, int target) {
int i = 0, j = nums.size() - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
while (i <= j) {
int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
if (nums[m] < target)
i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
else if (nums[m] > target)
j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
else
i = m + 1; // 首个大于 target 的元素在区间 [m+1, j] 中
}
if (j < 0 || nums[j] != target)
return -1; // 未找到目标元素，返回 -1
return j;
}
binary_search_edge.py
def binary_search_right_edge(nums: list[int], target: int) -> int:
"""二分查找最右一个元素"""
# 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
i, j = 0, len(nums) - 1
while i <= j:
m = (i + j) // 2 # 计算中点索引 m
if nums[m] < target:
i = m + 1 # target 在区间 [m+1, j] 中
elif nums[m] > target:
j = m - 1 # target 在区间 [i, m-1] 中
else:
i = m + 1 # 首个大于 target 的元素在区间 [m+1, j] 中
if j == len(nums) or nums[j] != target:
return -1 # 未找到目标元素，返回 -1
return j
观察下图，搜索最右元素时指针 j 起到了搜索最左元素时指针 i 的作用，反之亦然。本质上看，搜索最左元素和最右元素的实现是镜像对称的。
Fig. 二分查找最左元素和最右元素
Tip
以上代码采取的都是“双闭区间”写法。有兴趣的读者可以自行实现“左闭右开”写法。