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krahets 2023-10-25 00:05:05 +08:00
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commit f442443773
4 changed files with 318 additions and 152 deletions
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107
docs/chapter_computational_complexity/iteration_and_recursion.md
View File

@ -172,7 +172,15 @@ status: new
=== "Zig"
```zig title="iteration.zig"
[class]{}-[func]{forLoop}
// for 循环
fn forLoop(n: usize) i32 {
var res: i32 = 0;
// 循环求和 1, 2, ..., n-1, n
for (1..n+1) |i| {
res = res + @as(i32, @intCast(i));
}
return res;
}
```
图 2-1 展示了该求和函数的流程框图。
@ -368,7 +376,17 @@ status: new
=== "Zig"
```zig title="iteration.zig"
[class]{}-[func]{whileLoop}
// while 循环
fn whileLoop(n: i32) i32 {
var res: i32 = 0;
var i: i32 = 1; // 初始化条件变量
// 循环求和 1, 2, ..., n-1, n
while (i <= n) {
res += @intCast(i);
i += 1;
}
return res;
}
```
在 `while` 循环中，由于初始化和更新条件变量的步骤是独立在循环结构之外的，**因此它比 `for` 循环的自由度更高**。
@ -575,7 +593,19 @@ status: new
=== "Zig"
```zig title="iteration.zig"
[class]{}-[func]{whileLoopII}
// while 循环（两次更新）
fn whileLoopII(n: i32) i32 {
var res: i32 = 0;
var i: i32 = 1; // 初始化条件变量
// 循环求和 1, 4, ...
while (i <= n) {
res += @intCast(i);
// 更新条件变量
i += 1;
i *= 2;
}
return res;
}
```
总的来说，**`for` 循环的代码更加紧凑，`while` 循环更加灵活**，两者都可以实现迭代结构。选择使用哪一个应该根据特定问题的需求来决定。
@ -775,7 +805,21 @@ status: new
=== "Zig"
```zig title="iteration.zig"
[class]{}-[func]{nestedForLoop}
// 双层 for 循环
fn nestedForLoop(allocator: Allocator, n: usize) ![]const u8 {
var res = std.ArrayList(u8).init(allocator);
defer res.deinit();
var buffer: [20]u8 = undefined;
// 循环 i = 1, 2, ..., n-1, n
for (1..n+1) |i| {
// 循环 j = 1, 2, ..., n-1, n
for (1..n+1) |j| {
var _str = try std.fmt.bufPrint(&buffer, "({d}, {d}), ", .{i, j});
try res.appendSlice(_str);
}
}
return res.toOwnedSlice();
}
```
图 2-2 给出了该嵌套循环的流程框图。
@ -970,7 +1014,17 @@ status: new
=== "Zig"
```zig title="recursion.zig"
[class]{}-[func]{recur}
// 递归函数
fn recur(n: i32) i32 {
// 终止条件
if (n == 1) {
return 1;
}
// 递：递归调用
var res: i32 = recur(n - 1);
// 归：返回结果
return n + res;
}
```
图 2-3 展示了该函数的递归过程。
@ -1158,7 +1212,15 @@ status: new
=== "Zig"
```zig title="recursion.zig"
[class]{}-[func]{tailRecur}
// 尾递归函数
fn tailRecur(n: i32, res: i32) i32 {
// 终止条件
if (n == 0) {
return res;
}
// 尾递归调用
return tailRecur(n - 1, res + n);
}
```
尾递归的执行过程如图 2-5 所示。对比普通递归和尾递归，求和操作的执行点是不同的。
@ -1356,7 +1418,17 @@ status: new
=== "Zig"
```zig title="recursion.zig"
[class]{}-[func]{fib}
// 斐波那契数列
fn fib(n: i32) i32 {
// 终止条件 f(1) = 0, f(2) = 1
if (n == 1 or n == 2) {
return n - 1;
}
// 递归调用 f(n) = f(n-1) + f(n-2)
var res: i32 = fib(n - 1) + fib(n - 2);
// 返回结果 f(n)
return res;
}
```
观察以上代码，我们在函数内递归调用了两个函数，**这意味着从一个调用产生了两个调用分支**。如图 2-6 所示，这样不断递归调用下去，最终将产生一个层数为 $n$ 的「递归树 recursion tree」。
@ -1655,7 +1727,26 @@ status: new
=== "Zig"
```zig title="recursion.zig"
[class]{}-[func]{forLoopRecur}
// 使用迭代模拟递归
fn forLoopRecur(comptime n: i32) i32 {
// 使用一个显式的栈来模拟系统调用栈
var stack: [n]i32 = undefined;
var res: i32 = 0;
// 递：递归调用
var i: usize = n;
while (i > 0) {
stack[i - 1] = @intCast(i);
i -= 1;
}
// 归：返回结果
var index: usize = n;
while (index > 0) {
index -= 1;
res += stack[index];
}
// res = 1+2+3+...+n
return res;
}
```
观察以上代码，当递归被转换为迭代后，代码变得更加复杂了。尽管迭代和递归在很多情况下可以互相转换，但也不一定值得这样做，有以下两点原因。

55
docs/chapter_computational_complexity/time_complexity.md
View File

@ -178,7 +178,16 @@ comments: true
=== "Zig"
```zig title=""
// 在某运行平台下
fn algorithm(n: usize) void {
var a: i32 = 2; // 1 ns
a += 1; // 1 ns
a *= 2; // 10 ns
// 循环 n 次
for (0..n) |_| { // 1 ns
std.debug.print("{}\n", .{0}); // 5 ns
}
}
```
根据以上方法，可以得到算法运行时间为 $6n + 12$ ns ：
@ -427,7 +436,24 @@ $$
=== "Zig"
```zig title=""
// 算法 A 的时间复杂度：常数阶
fn algorithm_A(n: usize) void {
_ = n;
std.debug.print("{}\n", .{0});
}
// 算法 B 的时间复杂度：线性阶
fn algorithm_B(n: i32) void {
for (0..n) |_| {
std.debug.print("{}\n", .{0});
}
}
// 算法 C 的时间复杂度：常数阶
fn algorithm_C(n: i32) void {
_ = n;
for (0..1000000) |_| {
std.debug.print("{}\n", .{0});
}
}
```
图 2-7 展示了以上三个算法函数的时间复杂度。
@ -606,7 +632,15 @@ $$
=== "Zig"
```zig title=""
fn algorithm(n: usize) void {
var a: i32 = 1; // +1
a += 1; // +1
a *= 2; // +1
// 循环 n 次
for (0..n) |_| { // +1（每轮都执行 i ++）
std.debug.print("{}\n", .{0}); // +1
}
}
```
设算法的操作数量是一个关于输入数据大小 $n$ 的函数，记为 $T(n)$ ，则以上函数的的操作数量为：
@ -857,7 +891,22 @@ $T(n)$ 是一次函数，说明其运行时间的增长趋势是线性的，因
=== "Zig"
```zig title=""
fn algorithm(n: usize) void {
var a: i32 = 1; // +0（技巧 1）
a = a + @as(i32, @intCast(n)); // +0（技巧 1）
// +n（技巧 2）
for(0..(5 * n + 1)) |_| {
std.debug.print("{}\n", .{0});
}
// +n*n（技巧 3）
for(0..(2 * n)) |_| {
for(0..(n + 1)) |_| {
std.debug.print("{}\n", .{0});
}
}
}
```
以下公式展示了使用上述技巧前后的统计结果，两者推出的时间复杂度都为 $O(n^2)$ 。

298
docs/chapter_hashing/hash_collision.md
View File

@ -2126,16 +2126,16 @@ comments: true
#loadThres; // 触发扩容的负载因子阈值
#extendRatio; // 扩容倍数
#buckets; // 桶数组
#removed; // 删除标记
#TOMBSTONE; // 删除标记
/* 构造方法 */
constructor() {
this.#size = 0;
this.#capacity = 4;
this.#loadThres = 2.0 / 3.0;
this.#extendRatio = 2;
this.#buckets = new Array(this.#capacity).fill(null);
this.#removed = new Pair(-1, '-1');
this.#size = 0; // 键值对数量
this.#capacity = 4; // 哈希表容量
this.#loadThres = 2.0 / 3.0; // 触发扩容的负载因子阈值
this.#extendRatio = 2; // 扩容倍数
this.#buckets = Array(this.#capacity).fill(null); // 桶数组
this.#TOMBSTONE = new Pair(-1, '-1'); // 删除标记
}
/* 哈希函数 */
@ -2148,22 +2148,48 @@ comments: true
return this.#size / this.#capacity;
}
/* 搜索 key 对应的桶索引 */
#findBucket(key) {
let index = this.#hashFunc(key);
let firstTombstone = -1;
// 线性探测，当遇到空桶时跳出
while (this.#buckets[index] !== null) {
// 若遇到 key ，返回对应桶索引
if (this.#buckets[index].key === key) {
// 若之前遇到了删除标记，则将键值对移动至该索引
if (firstTombstone !== -1) {
this.#buckets[firstTombstone] = this.#buckets[index];
this.#buckets[index] = this.#TOMBSTONE;
return firstTombstone; // 返回移动后的桶索引
}
return index; // 返回桶索引
}
// 记录遇到的首个删除标记
if (
firstTombstone === -1 &&
this.#buckets[index] === this.#TOMBSTONE
) {
firstTombstone = index;
}
// 计算桶索引，越过尾部返回头部
index = (index + 1) % this.#capacity;
}
// 若 key 不存在，则返回添加点的索引
return firstTombstone === -1 ? index : firstTombstone;
}
/* 查询操作 */
get(key) {
const index = this.#hashFunc(key);
// 线性探测，从 index 开始向后遍历
for (let i = 0; i < this.#capacity; i++) {
// 计算桶索引，越过尾部返回头部
const j = (index + i) % this.#capacity;
// 若遇到空桶，说明无此 key ，则返回 null
if (this.#buckets[j] === null) return null;
// 若遇到指定 key ，则返回对应 val
if (
this.#buckets[j].key === key &&
this.#buckets[j].key !== this.#removed.key
)
return this.#buckets[j].val;
// 搜索 key 对应的桶索引
const index = this.#findBucket(key);
// 若找到键值对，则返回对应 val
if (
this.#buckets[index] !== null &&
this.#buckets[index] !== this.#TOMBSTONE
) {
return this.#buckets[index].val;
}
// 若键值对不存在，则返回 null
return null;
}
@ -2173,45 +2199,32 @@ comments: true
if (this.#loadFactor() > this.#loadThres) {
this.#extend();
}
const index = this.#hashFunc(key);
// 线性探测，从 index 开始向后遍历
for (let i = 0; i < this.#capacity; i++) {
// 计算桶索引，越过尾部返回头部
let j = (index + i) % this.#capacity;
// 若遇到空桶、或带有删除标记的桶，则将键值对放入该桶
if (
this.#buckets[j] === null ||
this.#buckets[j].key === this.#removed.key
) {
this.#buckets[j] = new Pair(key, val);
this.#size += 1;
return;
}
// 若遇到指定 key ，则更新对应 val
if (this.#buckets[j].key === key) {
this.#buckets[j].val = val;
return;
}
// 搜索 key 对应的桶索引
const index = this.#findBucket(key);
// 若找到键值对，则覆盖 val 并返回
if (
this.#buckets[index] !== null &&
this.#buckets[index] !== this.#TOMBSTONE
) {
this.#buckets[index].val = val;
return;
}
// 若键值对不存在，则添加该键值对
this.#buckets[index] = new Pair(key, val);
this.#size++;
}
/* 删除操作 */
remove(key) {
const index = this.#hashFunc(key);
// 线性探测，从 index 开始向后遍历
for (let i = 0; i < this.#capacity; i++) {
// 计算桶索引，越过尾部返回头部
const j = (index + i) % this.#capacity;
// 若遇到空桶，说明无此 key ，则直接返回
if (this.#buckets[j] === null) {
return;
}
// 若遇到指定 key ，则标记删除并返回
if (this.#buckets[j].key === key) {
this.#buckets[j] = this.#removed;
this.#size -= 1;
return;
}
// 搜索 key 对应的桶索引
const index = this.#findBucket(key);
// 若找到键值对，则用删除标记覆盖它
if (
this.#buckets[index] !== null &&
this.#buckets[index] !== this.#TOMBSTONE
) {
this.#buckets[index] = this.#TOMBSTONE;
this.#size--;
}
}
@ -2221,11 +2234,11 @@ comments: true
const bucketsTmp = this.#buckets;
// 初始化扩容后的新哈希表
this.#capacity *= this.#extendRatio;
this.#buckets = new Array(this.#capacity).fill(null);
this.#buckets = Array(this.#capacity).fill(null);
this.#size = 0;
// 将键值对从原哈希表搬运至新哈希表
for (const pair of bucketsTmp) {
if (pair !== null && pair.key !== this.#removed.key) {
if (pair !== null && pair !== this.#TOMBSTONE) {
this.put(pair.key, pair.val);
}
}
@ -2234,10 +2247,12 @@ comments: true
/* 打印哈希表 */
print() {
for (const pair of this.#buckets) {
if (pair !== null) {
console.log(pair.key + ' -> ' + pair.val);
} else {
if (pair === null) {
console.log('null');
} else if (pair === this.#TOMBSTONE) {
console.log('TOMBSTONE');
} else {
console.log(pair.key + ' -> ' + pair.val);
}
}
}
@ -2249,111 +2264,124 @@ comments: true
```typescript title="hash_map_open_addressing.ts"
/* 开放寻址哈希表 */
class HashMapOpenAddressing {
#size: number; // 键值对数量
#capacity: number; // 哈希表容量
#loadThres: number; // 触发扩容的负载因子阈值
#extendRatio: number; // 扩容倍数
#buckets: Pair[]; // 桶数组
#removed: Pair; // 删除标记
private size: number; // 键值对数量
private capacity: number; // 哈希表容量
private loadThres: number; // 触发扩容的负载因子阈值
private extendRatio: number; // 扩容倍数
private buckets: Array<Pair | null>; // 桶数组
private TOMBSTONE: Pair; // 删除标记
/* 构造方法 */
constructor() {
this.#size = 0;
this.#capacity = 4;
this.#loadThres = 2.0 / 3.0;
this.#extendRatio = 2;
this.#buckets = new Array(this.#capacity).fill(null);
this.#removed = new Pair(-1, '-1');
this.size = 0; // 键值对数量
this.capacity = 4; // 哈希表容量
this.loadThres = 2.0 / 3.0; // 触发扩容的负载因子阈值
this.extendRatio = 2; // 扩容倍数
this.buckets = Array(this.capacity).fill(null); // 桶数组
this.TOMBSTONE = new Pair(-1, '-1'); // 删除标记
}
/* 哈希函数 */
#hashFunc(key: number): number {
return key % this.#capacity;
private hashFunc(key: number): number {
return key % this.capacity;
}
/* 负载因子 */
#loadFactor(): number {
return this.#size / this.#capacity;
private loadFactor(): number {
return this.size / this.capacity;
}
/* 搜索 key 对应的桶索引 */
private findBucket(key: number): number {
let index = this.hashFunc(key);
let firstTombstone = -1;
// 线性探测，当遇到空桶时跳出
while (this.buckets[index] !== null) {
// 若遇到 key ，返回对应桶索引
if (this.buckets[index]!.key === key) {
// 若之前遇到了删除标记，则将键值对移动至该索引
if (firstTombstone !== -1) {
this.buckets[firstTombstone] = this.buckets[index];
this.buckets[index] = this.TOMBSTONE;
return firstTombstone; // 返回移动后的桶索引
}
return index; // 返回桶索引
}
// 记录遇到的首个删除标记
if (
firstTombstone === -1 &&
this.buckets[index] === this.TOMBSTONE
) {
firstTombstone = index;
}
// 计算桶索引，越过尾部返回头部
index = (index + 1) % this.capacity;
}
// 若 key 不存在，则返回添加点的索引
return firstTombstone === -1 ? index : firstTombstone;
}
/* 查询操作 */
get(key: number): string | null {
const index = this.#hashFunc(key);
// 线性探测，从 index 开始向后遍历
for (let i = 0; i < this.#capacity; i++) {
// 计算桶索引，越过尾部返回头部
const j = (index + i) % this.#capacity;
// 若遇到空桶，说明无此 key ，则返回 null
if (this.#buckets[j] === null) return null;
// 若遇到指定 key ，则返回对应 val
if (
this.#buckets[j].key === key &&
this.#buckets[j].key !== this.#removed.key
)
return this.#buckets[j].val;
// 搜索 key 对应的桶索引
const index = this.findBucket(key);
// 若找到键值对，则返回对应 val
if (
this.buckets[index] !== null &&
this.buckets[index] !== this.TOMBSTONE
) {
return this.buckets[index]!.val;
}
// 若键值对不存在，则返回 null
return null;
}
/* 添加操作 */
put(key: number, val: string): void {
// 当负载因子超过阈值时，执行扩容
if (this.#loadFactor() > this.#loadThres) {
this.#extend();
if (this.loadFactor() > this.loadThres) {
this.extend();
}
const index = this.#hashFunc(key);
// 线性探测，从 index 开始向后遍历
for (let i = 0; i < this.#capacity; i++) {
// 计算桶索引，越过尾部返回头部
let j = (index + i) % this.#capacity;
// 若遇到空桶、或带有删除标记的桶，则将键值对放入该桶
if (
this.#buckets[j] === null ||
this.#buckets[j].key === this.#removed.key
) {
this.#buckets[j] = new Pair(key, val);
this.#size += 1;
return;
}
// 若遇到指定 key ，则更新对应 val
if (this.#buckets[j].key === key) {
this.#buckets[j].val = val;
return;
}
// 搜索 key 对应的桶索引
const index = this.findBucket(key);
// 若找到键值对，则覆盖 val 并返回
if (
this.buckets[index] !== null &&
this.buckets[index] !== this.TOMBSTONE
) {
this.buckets[index]!.val = val;
return;
}
// 若键值对不存在，则添加该键值对
this.buckets[index] = new Pair(key, val);
this.size++;
}
/* 删除操作 */
remove(key: number): void {
const index = this.#hashFunc(key);
// 线性探测，从 index 开始向后遍历
for (let i = 0; i < this.#capacity; i++) {
// 计算桶索引，越过尾部返回头部
const j = (index + i) % this.#capacity;
// 若遇到空桶，说明无此 key ，则直接返回
if (this.#buckets[j] === null) {
return;
}
// 若遇到指定 key ，则标记删除并返回
if (this.#buckets[j].key === key) {
this.#buckets[j] = this.#removed;
this.#size -= 1;
return;
}
// 搜索 key 对应的桶索引
const index = this.findBucket(key);
// 若找到键值对，则用删除标记覆盖它
if (
this.buckets[index] !== null &&
this.buckets[index] !== this.TOMBSTONE
) {
this.buckets[index] = this.TOMBSTONE;
this.size--;
}
}
/* 扩容哈希表 */
#extend(): void {
private extend(): void {
// 暂存原哈希表
const bucketsTmp = this.#buckets;
const bucketsTmp = this.buckets;
// 初始化扩容后的新哈希表
this.#capacity *= this.#extendRatio;
this.#buckets = new Array(this.#capacity).fill(null);
this.#size = 0;
this.capacity *= this.extendRatio;
this.buckets = Array(this.capacity).fill(null);
this.size = 0;
// 将键值对从原哈希表搬运至新哈希表
for (const pair of bucketsTmp) {
if (pair !== null && pair.key !== this.#removed.key) {
if (pair !== null && pair !== this.TOMBSTONE) {
this.put(pair.key, pair.val);
}
}
@ -2361,11 +2389,13 @@ comments: true
/* 打印哈希表 */
print(): void {
for (const pair of this.#buckets) {
if (pair !== null) {
console.log(pair.key + ' -> ' + pair.val);
} else {
for (const pair of this.buckets) {
if (pair === null) {
console.log('null');
} else if (pair === this.TOMBSTONE) {
console.log('TOMBSTONE');
} else {
console.log(pair.key + ' -> ' + pair.val);
}
}
}

10
docs/chapter_hashing/hash_map.md
View File

@ -308,13 +308,9 @@ comments: true
for (auto kv: map) {
cout << kv.first << " -> " << kv.second << endl;
}
// 单独遍历键 key
for (auto kv: map) {
cout << kv.first << endl;
}
// 单独遍历值 value
for (auto kv: map) {
cout << kv.second << endl;
// 使用迭代器遍历 key->value
for (auto iter = map.begin(); iter != map.end(); iter++) {
cout << iter->first << "->" << iter->second << endl;
}
```