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zh-hant/codes/python/chapter_computational_complexity/time_complexity.py

@@ -97,7 +97,9 @@ def linear_log_recur(n: int) -> int:
     """線性對數階"""
     if n <= 1:
         return 1
-    count: int = linear_log_recur(n // 2) + linear_log_recur(n // 2)
+    # 一分為二，子問題的規模減小一半
+    count = linear_log_recur(n // 2) + linear_log_recur(n // 2)
+    # 當前子問題包含 n 個操作
     for _ in range(n):
         count += 1
     return count
@@ -120,32 +122,32 @@ if __name__ == "__main__":
     n = 8
     print("輸入資料大小 n =", n)
 
-    count: int = constant(n)
+    count = constant(n)
     print("常數階的操作數量 =", count)
 
-    count: int = linear(n)
+    count = linear(n)
     print("線性階的操作數量 =", count)
-    count: int = array_traversal([0] * n)
+    count = array_traversal([0] * n)
     print("線性階（走訪陣列）的操作數量 =", count)
 
-    count: int = quadratic(n)
+    count = quadratic(n)
     print("平方階的操作數量 =", count)
     nums = [i for i in range(n, 0, -1)]  # [n, n-1, ..., 2, 1]
-    count: int = bubble_sort(nums)
+    count = bubble_sort(nums)
     print("平方階（泡沫排序）的操作數量 =", count)
 
-    count: int = exponential(n)
+    count = exponential(n)
     print("指數階（迴圈實現）的操作數量 =", count)
-    count: int = exp_recur(n)
+    count = exp_recur(n)
     print("指數階（遞迴實現）的操作數量 =", count)
 
-    count: int = logarithmic(n)
+    count = logarithmic(n)
     print("對數階（迴圈實現）的操作數量 =", count)
-    count: int = log_recur(n)
+    count = log_recur(n)
     print("對數階（遞迴實現）的操作數量 =", count)
 
-    count: int = linear_log_recur(n)
+    count = linear_log_recur(n)
     print("線性對數階（遞迴實現）的操作數量 =", count)
 
-    count: int = factorial_recur(n)
+    count = factorial_recur(n)
     print("階乘階（遞迴實現）的操作數量 =", count)

zh-hant/codes/ruby/chapter_dynamic_programming/climbing_stairs_backtrack.rb

@@ -0,0 +1,37 @@
+=begin
+File: climbing_stairs_backtrack.rb
+Created Time: 2024-05-29
+Author: Xuan Khoa Tu Nguyen (ngxktuzkai2000@gmail.com)
+=end
+
+### 回溯 ###
+def backtrack(choices, state, n, res)
+  # 當爬到第 n 階時，方案數量加 1
+  res[0] += 1 if state == n
+  # 走訪所有選擇
+  for choice in choices
+    # 剪枝：不允許越過第 n 階
+    next if state + choice > n
+
+    # 嘗試：做出選擇，更新狀態
+    backtrack(choices, state + choice, n, res)
+  end
+  # 回退
+end
+
+### 爬樓梯：回溯 ###
+def climbing_stairs_backtrack(n)
+  choices = [1, 2] # 可選擇向上爬 1 階或 2 階
+  state = 0 # 從第 0 階開始爬
+  res = [0] # 使用 res[0] 記錄方案數量
+  backtrack(choices, state, n, res)
+  res.first
+end
+
+### Driver Code ###
+if __FILE__ == $0
+  n = 9
+
+  res = climbing_stairs_backtrack(n)
+  puts "爬 #{n} 階樓梯共有 #{res} 種方案"
+end

zh-hant/codes/ruby/chapter_dynamic_programming/climbing_stairs_constraint_dp.rb

@@ -0,0 +1,31 @@
+=begin
+File: climbing_stairs_constraint_dp.rb
+Created Time: 2024-05-29
+Author: Xuan Khoa Tu Nguyen (ngxktuzkai2000@gmail.com)
+=end
+
+### 帶約束爬樓梯：動態規劃 ###
+def climbing_stairs_constraint_dp(n)
+  return 1 if n == 1 || n == 2
+
+  # 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
+  dp = Array.new(n + 1) { Array.new(3, 0) }
+  # 初始狀態：預設最小子問題的解
+  dp[1][1], dp[1][2] = 1, 0
+  dp[2][1], dp[2][2] = 0, 1
+  # 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
+  for i in 3...(n + 1)
+    dp[i][1] = dp[i - 1][2]
+    dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2]
+  end
+
+  dp[n][1] + dp[n][2]
+end
+
+### Driver Code ###
+if __FILE__ == $0
+  n = 9
+
+  res = climbing_stairs_constraint_dp(n)
+  puts "爬 #{n} 階樓梯共有 #{res} 種方案"
+end

zh-hant/codes/ruby/chapter_dynamic_programming/climbing_stairs_dfs.rb

@@ -0,0 +1,26 @@
+=begin
+File: climbing_stairs_dfs.rb
+Created Time: 2024-05-29
+Author: Xuan Khoa Tu Nguyen (ngxktuzkai2000@gmail.com)
+=end
+
+### 搜尋 ###
+def dfs(i)
+  # 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
+  return i if i == 1 || i == 2
+  # dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
+  dfs(i - 1) + dfs(i - 2)
+end
+
+### 爬樓梯：搜尋 ###
+def climbing_stairs_dfs(n)
+  dfs(n)
+end
+
+### Driver Code ###
+if __FILE__ == $0
+  n = 9
+
+  res = climbing_stairs_dfs(n)
+  puts "爬 #{n} 階樓梯共有 #{res} 種方案"
+end

zh-hant/codes/ruby/chapter_dynamic_programming/climbing_stairs_dfs_mem.rb

@@ -0,0 +1,33 @@
+=begin
+File: climbing_stairs_dfs_mem.rb
+Created Time: 2024-05-29
+Author: Xuan Khoa Tu Nguyen (ngxktuzkai2000@gmail.com)
+=end
+
+### 記憶化搜尋 ###
+def dfs(i, mem)
+  # 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
+  return i if i == 1 || i == 2
+  # 若存在記錄 dp[i] ，則直接返回之
+  return mem[i] if mem[i] != -1
+
+  # dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
+  count = dfs(i - 1, mem) + dfs(i - 2, mem)
+  # 記錄 dp[i]
+  mem[i] = count
+end
+
+### 爬樓梯：記憶化搜尋 ###
+def climbing_stairs_dfs_mem(n)
+  # mem[i] 記錄爬到第 i 階的方案總數，-1 代表無記錄
+  mem = Array.new(n + 1, -1)
+  dfs(n, mem)
+end
+
+### Driver Code ###
+if __FILE__ == $0
+  n = 9
+
+  res = climbing_stairs_dfs_mem(n)
+  puts "爬 #{n} 階樓梯共有 #{res} 種方案"
+end

zh-hant/codes/ruby/chapter_dynamic_programming/climbing_stairs_dp.rb

@@ -0,0 +1,40 @@
+=begin
+File: climbing_stairs_dp.rb
+Created Time: 2024-05-29
+Author: Xuan Khoa Tu Nguyen (ngxktuzkai2000@gmail.com)
+=end
+
+### 爬樓梯：動態規劃 ###
+def climbing_stairs_dp(n)
+  return n  if n == 1 || n == 2
+
+  # 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
+  dp = Array.new(n + 1, 0)
+  # 初始狀態：預設最小子問題的解
+  dp[1], dp[2] = 1, 2
+  # 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
+  (3...(n + 1)).each { |i| dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] }
+
+  dp[n]
+end
+
+### 爬樓梯：空間最佳化後的動態規劃 ###
+def climbing_stairs_dp_comp(n)
+  return n if n == 1 || n == 2
+
+  a, b = 1, 2
+  (3...(n + 1)).each { a, b = b, a + b }
+
+  b
+end
+
+### Driver Code ###
+if __FILE__ == $0
+  n = 9
+
+  res = climbing_stairs_dp(n)
+  puts "爬 #{n} 階樓梯共有 #{res} 種方案"
+
+  res = climbing_stairs_dp_comp(n)
+  puts "爬 #{n} 階樓梯共有 #{res} 種方案"
+end

zh-hant/codes/ruby/chapter_dynamic_programming/coin_change.rb

@@ -0,0 +1,65 @@
+=begin
+File: coin_change.rb
+Created Time: 2024-05-29
+Author: Xuan Khoa Tu Nguyen (ngxktuzkai2000@gmail.com)
+=end
+
+### 零錢兌換：動態規劃 ###
+def coin_change_dp(coins, amt)
+  n = coins.length
+  _MAX = amt + 1
+  # 初始化 dp 表
+  dp = Array.new(n + 1) { Array.new(amt + 1, 0) }
+  # 狀態轉移：首行首列
+  (1...(amt + 1)).each { |a| dp[0][a] = _MAX }
+  # 狀態轉移：其餘行和列
+  for i in 1...(n + 1)
+    for a in 1...(amt + 1)
+      if coins[i - 1] > a
+        # 若超過目標金額，則不選硬幣 i
+        dp[i][a] = dp[i - 1][a]
+      else
+        # 不選和選硬幣 i 這兩種方案的較小值
+        dp[i][a] = [dp[i - 1][a], dp[i][a - coins[i - 1]] + 1].min
+      end
+    end
+  end
+  dp[n][amt] != _MAX ? dp[n][amt] : -1
+end
+
+### 零錢兌換：空間最佳化後的動態規劃 ###
+def coin_change_dp_comp(coins, amt)
+  n = coins.length
+  _MAX = amt + 1
+  # 初始化 dp 表
+  dp = Array.new(amt + 1, _MAX)
+  dp[0] = 0
+  # 狀態轉移
+  for i in 1...(n + 1)
+    # 正序走訪
+    for a in 1...(amt + 1)
+      if coins[i - 1] > a
+        # 若超過目標金額，則不選硬幣 i
+        dp[a] = dp[a]
+      else
+        # 不選和選硬幣 i 這兩種方案的較小值
+        dp[a] = [dp[a], dp[a - coins[i - 1]] + 1].min
+      end
+    end
+  end
+  dp[amt] != _MAX ? dp[amt] : -1
+end
+
+### Driver Code ###
+if __FILE__ == $0
+  coins = [1, 2, 5]
+  amt = 4
+
+  # 動態規劃
+  res = coin_change_dp(coins, amt)
+  puts "湊到目標金額所需的最少硬幣數量為 #{res}"
+
+  # 空間最佳化後的動態規劃
+  res = coin_change_dp_comp(coins, amt)
+  puts "湊到目標金額所需的最少硬幣數量為 #{res}"
+end

zh-hant/codes/ruby/chapter_dynamic_programming/coin_change_ii.rb

@@ -0,0 +1,63 @@
+=begin
+File: coin_change_ii.rb
+Created Time: 2024-05-29
+Author: Xuan Khoa Tu Nguyen (ngxktuzkai2000@gmail.com)
+=end
+
+### 零錢兌換 II：動態規劃 ###
+def coin_change_ii_dp(coins, amt)
+  n = coins.length
+  # 初始化 dp 表
+  dp = Array.new(n + 1) { Array.new(amt + 1, 0) }
+  # 初始化首列
+  (0...(n + 1)).each { |i| dp[i][0] = 1 }
+  # 狀態轉移
+  for i in 1...(n + 1)
+    for a in 1...(amt + 1)
+      if coins[i - 1] > a
+        # 若超過目標金額，則不選硬幣 i
+        dp[i][a] = dp[i - 1][a]
+      else
+        # 不選和選硬幣 i 這兩種方案之和
+        dp[i][a] = dp[i - 1][a] + dp[i][a - coins[i - 1]]
+      end
+    end
+  end
+  dp[n][amt]
+end
+
+### 零錢兌換 II：空間最佳化後的動態規劃 ###
+def coin_change_ii_dp_comp(coins, amt)
+  n = coins.length
+  # 初始化 dp 表
+  dp = Array.new(amt + 1, 0)
+  dp[0] = 1
+  # 狀態轉移
+  for i in 1...(n + 1)
+    # 正序走訪
+    for a in 1...(amt + 1)
+      if coins[i - 1] > a
+        # 若超過目標金額，則不選硬幣 i
+        dp[a] = dp[a]
+      else
+        # 不選和選硬幣 i 這兩種方案之和
+        dp[a] = dp[a] + dp[a - coins[i - 1]]
+      end
+    end
+  end
+  dp[amt]
+end
+
+### Driver Code ###
+if __FILE__ == $0
+  coins = [1, 2, 5]
+  amt = 5
+
+  # 動態規劃
+  res = coin_change_ii_dp(coins, amt)
+  puts "湊出目標金額的硬幣組合數量為 #{res}"
+
+  # 空間最佳化後的動態規劃
+  res = coin_change_ii_dp_comp(coins, amt)
+  puts "湊出目標金額的硬幣組合數量為 #{res}"
+end

zh-hant/codes/ruby/chapter_dynamic_programming/edit_distance.rb

@@ -0,0 +1,115 @@
+=begin
+File: edit_distance.rb
+Created Time: 2024-05-29
+Author: Xuan Khoa Tu Nguyen (ngxktuzkai2000@gmail.com)
+=end
+
+### 編輯距離：暴力搜尋 ###
+def edit_distance_dfs(s, t, i, j)
+  # 若 s 和 t 都為空，則返回 0
+  return 0 if i == 0 && j == 0
+  # 若 s 為空，則返回 t 長度
+  return j if i == 0
+  # 若 t 為空，則返回 s 長度
+  return i if j == 0
+  # 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
+  return edit_distance_dfs(s, t, i - 1, j - 1) if s[i - 1] == t[j - 1]
+  # 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
+  insert = edit_distance_dfs(s, t, i, j - 1)
+  delete = edit_distance_dfs(s, t, i - 1, j)
+  replace = edit_distance_dfs(s, t, i - 1, j - 1)
+  # 返回最少編輯步數
+  [insert, delete, replace].min + 1
+end
+
+def edit_distance_dfs_mem(s, t, mem, i, j)
+  # 若 s 和 t 都為空，則返回 0
+  return 0 if i == 0 && j == 0
+  # 若 s 為空，則返回 t 長度
+  return j if i == 0
+  # 若 t 為空，則返回 s 長度
+  return i if j == 0
+  # 若已有記錄，則直接返回之
+  return mem[i][j] if mem[i][j] != -1
+  # 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
+  return edit_distance_dfs_mem(s, t, mem, i - 1, j - 1) if s[i - 1] == t[j - 1]
+  # 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
+  insert = edit_distance_dfs_mem(s, t, mem, i, j - 1)
+  delete = edit_distance_dfs_mem(s, t, mem, i - 1, j)
+  replace = edit_distance_dfs_mem(s, t, mem, i - 1, j - 1)
+  # 記錄並返回最少編輯步數
+  mem[i][j] = [insert, delete, replace].min + 1
+end
+
+### 編輯距離：動態規劃 ###
+def edit_distance_dp(s, t)
+  n, m = s.length, t.length
+  dp = Array.new(n + 1) { Array.new(m + 1, 0) }
+  # 狀態轉移：首行首列
+  (1...(n + 1)).each { |i| dp[i][0] = i }
+  (1...(m + 1)).each { |j| dp[0][j] = j }
+  # 狀態轉移：其餘行和列
+  for i in 1...(n + 1)
+    for j in 1...(m +1)
+      if s[i - 1] == t[j - 1]
+        # 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
+        dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
+      else
+        # 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
+        dp[i][j] = [dp[i][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - 1]].min + 1
+      end
+    end
+  end
+  dp[n][m]
+end
+
+### 編輯距離：空間最佳化後的動態規劃 ###
+def edit_distance_dp_comp(s, t)
+  n, m = s.length, t.length
+  dp = Array.new(m + 1, 0)
+  # 狀態轉移：首行
+  (1...(m + 1)).each { |j| dp[j] = j }
+  # 狀態轉移：其餘行
+  for i in 1...(n + 1)
+    # 狀態轉移：首列
+    leftup = dp.first # 暫存 dp[i-1, j-1]
+    dp[0] += 1
+    # 狀態轉移：其餘列
+    for j in 1...(m + 1)
+      temp = dp[j]
+      if s[i - 1] == t[j - 1]
+        # 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
+        dp[j] = leftup
+      else
+        # 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
+        dp[j] = [dp[j - 1], dp[j], leftup].min + 1
+      end
+      leftup = temp # 更新為下一輪的 dp[i-1, j-1]
+    end
+  end
+  dp[m]
+end
+
+### Driver Code ###
+if __FILE__ == $0
+  s = 'bag'
+  t = 'pack'
+  n, m = s.length, t.length
+
+  # 暴力搜尋
+  res = edit_distance_dfs(s, t, n, m)
+  puts "將 #{s} 更改為 #{t} 最少需要編輯 #{res} 步"
+
+  # 記憶化搜尋
+  mem = Array.new(n + 1) { Array.new(m + 1, -1) }
+  res = edit_distance_dfs_mem(s, t, mem, n, m)
+  puts "將 #{s} 更改為 #{t} 最少需要編輯 #{res} 步"
+
+  # 動態規劃
+  res = edit_distance_dp(s, t)
+  puts "將 #{s} 更改為 #{t} 最少需要編輯 #{res} 步"
+
+  # 空間最佳化後的動態規劃
+  res = edit_distance_dp_comp(s, t)
+  puts "將 #{s} 更改為 #{t} 最少需要編輯 #{res} 步"
+end

zh-hant/codes/ruby/chapter_dynamic_programming/knapsack.rb

@@ -0,0 +1,99 @@
+=begin
+File: knapsack.rb
+Created Time: 2024-05-29
+Author: Xuan Khoa Tu Nguyen (ngxktuzkai2000@gmail.com)
+=end
+
+### 0-1 背包：暴力搜尋 ###
+def knapsack_dfs(wgt, val, i, c)
+  # 若已選完所有物品或背包無剩餘容量，則返回價值 0
+  return 0 if i == 0 || c == 0
+  # 若超過背包容量，則只能選擇不放入背包
+  return knapsack_dfs(wgt, val, i - 1, c) if wgt[i - 1] > c
+  # 計算不放入和放入物品 i 的最大價值
+  no = knapsack_dfs(wgt, val, i - 1, c)
+  yes = knapsack_dfs(wgt, val, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1]
+  # 返回兩種方案中價值更大的那一個
+  [no, yes].max
+end
+
+### 0-1 背包：記憶化搜尋 ###
+def knapsack_dfs_mem(wgt, val, mem, i, c)
+  # 若已選完所有物品或背包無剩餘容量，則返回價值 0
+  return 0 if i == 0 || c == 0
+  # 若已有記錄，則直接返回
+  return mem[i][c] if mem[i][c] != -1
+  # 若超過背包容量，則只能選擇不放入背包
+  return knapsack_dfs_mem(wgt, val, mem, i - 1, c) if wgt[i - 1] > c
+  # 計算不放入和放入物品 i 的最大價值
+  no = knapsack_dfs_mem(wgt, val, mem, i - 1, c)
+  yes = knapsack_dfs_mem(wgt, val, mem, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1]
+  # 記錄並返回兩種方案中價值更大的那一個
+  mem[i][c] = [no, yes].max
+end
+
+### 0-1 背包：動態規劃 ###
+def knapsack_dp(wgt, val, cap)
+  n = wgt.length
+  # 初始化 dp 表
+  dp = Array.new(n + 1) { Array.new(cap + 1, 0) }
+  # 狀態轉移
+  for i in 1...(n + 1)
+    for c in 1...(cap + 1)
+      if wgt[i - 1] > c
+        # 若超過背包容量，則不選物品 i
+        dp[i][c] = dp[i - 1][c]
+      else
+        # 不選和選物品 i 這兩種方案的較大值
+        dp[i][c] = [dp[i - 1][c], dp[i - 1][c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]].max
+      end
+    end
+  end
+  dp[n][cap]
+end
+
+### 0-1 背包：空間最佳化後的動態規劃 ###
+def knapsack_dp_comp(wgt, val, cap)
+  n = wgt.length
+  # 初始化 dp 表
+  dp = Array.new(cap + 1, 0)
+  # 狀態轉移
+  for i in 1...(n + 1)
+    # 倒序走訪
+    for c in cap.downto(1)
+      if wgt[i - 1] > c
+        # 若超過背包容量，則不選物品 i
+        dp[c] = dp[c]
+      else
+        # 不選和選物品 i 這兩種方案的較大值
+        dp[c] = [dp[c], dp[c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]].max
+      end
+    end
+  end
+  dp[cap]
+end
+
+### Driver Code ###
+if __FILE__ == $0
+  wgt = [10, 20, 30, 40, 50]
+  val = [50, 120, 150, 210, 240]
+  cap = 50
+  n = wgt.length
+
+  # 暴力搜尋
+  res = knapsack_dfs(wgt, val, n, cap)
+  puts "不超過背包容量的最大物品價值為 #{res}"
+
+  # 記憶化搜尋
+  mem = Array.new(n + 1) { Array.new(cap + 1, -1) }
+  res = knapsack_dfs_mem(wgt, val, mem, n, cap)
+  puts "不超過背包容量的最大物品價值為 #{res}"
+
+  # 動態規劃
+  res = knapsack_dp(wgt, val, cap)
+  puts "不超過背包容量的最大物品價值為 #{res}"
+
+  # 空間最佳化後的動態規劃
+  res = knapsack_dp_comp(wgt, val, cap)
+  puts "不超過背包容量的最大物品價值為 #{res}"
+end

zh-hant/codes/ruby/chapter_dynamic_programming/min_cost_climbing_stairs_dp.rb

@@ -0,0 +1,39 @@
+=begin
+File: min_cost_climbing_stairs_dp.rb
+Created Time: 2024-05-29
+Author: Xuan Khoa Tu Nguyen (ngxktuzkai2000@gmail.com)
+=end
+
+### 爬樓梯最小代價：動態規劃 ###
+def min_cost_climbing_stairs_dp(cost)
+  n = cost.length - 1
+  return cost[n] if n == 1 || n == 2
+  # 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
+  dp = Array.new(n + 1, 0)
+  # 初始狀態：預設最小子問題的解
+  dp[1], dp[2] = cost[1], cost[2]
+  # 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
+  (3...(n + 1)).each { |i| dp[i] = [dp[i - 1], dp[i - 2]].min + cost[i] }
+  dp[n]
+end
+
+# 爬樓梯最小代價：空間最佳化後的動態規劃
+def min_cost_climbing_stairs_dp_comp(cost)
+  n = cost.length - 1
+  return cost[n] if n == 1 || n == 2
+  a, b = cost[1], cost[2]
+  (3...(n + 1)).each { |i| a, b = b, [a, b].min + cost[i] }
+  b
+end
+
+### Driver Code ###
+if __FILE__ == $0
+  cost = [0, 1, 10, 1, 1, 1, 10, 1, 1, 10, 1]
+  puts "輸入樓梯的代價串列為 #{cost}"
+
+  res = min_cost_climbing_stairs_dp(cost)
+  puts "爬完樓梯的最低代價為 #{res}"
+
+  res = min_cost_climbing_stairs_dp_comp(cost)
+  puts "爬完樓梯的最低代價為 #{res}"
+end

zh-hant/codes/ruby/chapter_dynamic_programming/min_path_sum.rb

@@ -0,0 +1,93 @@
+=begin
+File: min_path_sum.rb
+Created Time: 2024-05-29
+Author: Xuan Khoa Tu Nguyen (ngxktuzkai2000@gmail.com)
+=end
+
+### 最小路徑和：暴力搜尋 ###
+def min_path_sum_dfs(grid, i, j)
+  # 若為左上角單元格，則終止搜尋
+  return grid[i][j] if i == 0 && j == 0
+  # 若行列索引越界，則返回 +∞ 代價
+  return Float::INFINITY if i < 0 || j < 0
+  # 計算從左上角到 (i-1, j) 和 (i, j-1) 的最小路徑代價
+  up = min_path_sum_dfs(grid, i - 1, j)
+  left = min_path_sum_dfs(grid, i, j - 1)
+  # 返回從左上角到 (i, j) 的最小路徑代價
+  [left, up].min + grid[i][j]
+end
+
+### 最小路徑和：記憶化搜尋 ###
+def min_path_sum_dfs_mem(grid, mem, i, j)
+  # 若為左上角單元格，則終止搜尋
+  return grid[0][0] if i == 0 && j == 0
+  # 若行列索引越界，則返回 +∞ 代價
+  return Float::INFINITY if i < 0 || j < 0
+  # 若已有記錄，則直接返回
+  return mem[i][j] if mem[i][j] != -1
+  # 左邊和上邊單元格的最小路徑代價
+  up = min_path_sum_dfs_mem(grid, mem, i - 1, j)
+  left = min_path_sum_dfs_mem(grid, mem, i, j - 1)
+  # 記錄並返回左上角到 (i, j) 的最小路徑代價
+  mem[i][j] = [left, up].min + grid[i][j]
+end
+
+### 最小路徑和：動態規劃 ###
+def min_path_sum_dp(grid)
+  n, m = grid.length, grid.first.length
+  # 初始化 dp 表
+  dp = Array.new(n) { Array.new(m, 0) }
+  dp[0][0] = grid[0][0]
+  # 狀態轉移：首行
+  (1...m).each { |j| dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j] }
+  # 狀態轉移：首列
+  (1...n).each { |i| dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0] }
+  # 狀態轉移：其餘行和列
+  for i in 1...n
+    for j in 1...m
+      dp[i][j] = [dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]].min + grid[i][j]
+    end
+  end
+  dp[n -1][m -1]
+end
+
+### 最小路徑和：空間最佳化後的動態規劃 ###
+def min_path_sum_dp_comp(grid)
+  n, m = grid.length, grid.first.length
+  # 初始化 dp 表
+  dp = Array.new(m, 0)
+  # 狀態轉移：首行
+  dp[0] = grid[0][0]
+  (1...m).each { |j| dp[j] = dp[j - 1] + grid[0][j] }
+  # 狀態轉移：其餘行
+  for i in 1...n
+    # 狀態轉移：首列
+    dp[0] = dp[0] + grid[i][0]
+    # 狀態轉移：其餘列
+    (1...m).each { |j| dp[j] = [dp[j - 1], dp[j]].min + grid[i][j] }
+  end
+  dp[m - 1]
+end
+
+### Driver Code ###
+if __FILE__ == $0
+  grid = [[1, 3, 1, 5], [2, 2, 4, 2], [5, 3, 2, 1], [4, 3, 5, 2]]
+  n, m = grid.length, grid.first.length
+
+  # 暴力搜尋
+  res = min_path_sum_dfs(grid, n - 1, m - 1)
+  puts "從左上角到右下角的做小路徑和為 #{res}"
+
+  # 記憶化搜尋
+  mem = Array.new(n) { Array.new(m, - 1) }
+  res = min_path_sum_dfs_mem(grid, mem, n - 1, m -1)
+  puts "從左上角到右下角的做小路徑和為 #{res}"
+
+  # 動態規劃
+  res = min_path_sum_dp(grid)
+  puts "從左上角到右下角的做小路徑和為 #{res}"
+
+  # 空間最佳化後的動態規劃
+  res = min_path_sum_dp_comp(grid)
+  puts "從左上角到右下角的做小路徑和為 #{res}"
+end

zh-hant/codes/ruby/chapter_dynamic_programming/unbounded_knapsack.rb

@@ -0,0 +1,61 @@
+=begin
+File: unbounded_knapsack.rb
+Created Time: 2024-05-29
+Author: Xuan Khoa Tu Nguyen (ngxktuzkai2000@gmail.com)
+=end
+
+### 完全背包：動態規劃 ###
+def unbounded_knapsack_dp(wgt, val, cap)
+  n = wgt.length
+  # 初始化 dp 表
+  dp = Array.new(n + 1) { Array.new(cap + 1, 0) }
+  # 狀態轉移
+  for i in 1...(n + 1)
+    for c in 1...(cap + 1)
+      if wgt[i - 1] > c
+        # 若超過背包容量，則不選物品 i
+        dp[i][c] = dp[i - 1][c]
+      else
+        # 不選和選物品 i 這兩種方案的較大值
+        dp[i][c] = [dp[i - 1][c], dp[i][c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]].max
+      end
+    end
+  end
+  dp[n][cap]
+end
+
+### 完全背包：空間最佳化後的動態規劃 ##3
+def unbounded_knapsack_dp_comp(wgt, val, cap)
+  n = wgt.length
+  # 初始化 dp 表
+  dp = Array.new(cap + 1, 0)
+  # 狀態轉移
+  for i in 1...(n + 1)
+    # 正序走訪
+    for c in 1...(cap + 1)
+      if wgt[i -1] > c
+        # 若超過背包容量，則不選物品 i
+        dp[c] = dp[c]
+      else
+        # 不選和選物品 i 這兩種方案的較大值
+        dp[c] = [dp[c], dp[c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]].max
+      end
+    end
+  end
+  dp[cap]
+end
+
+### Driver Code ###
+if __FILE__ == $0
+  wgt = [1, 2, 3]
+  val = [5, 11, 15]
+  cap = 4
+
+  # 動態規劃
+  res = unbounded_knapsack_dp(wgt, val, cap)
+  puts "不超過背包容量的最大物品價值為 #{res}"
+
+  # 空間最佳化後的動態規劃
+  res = unbounded_knapsack_dp_comp(wgt, val, cap)
+  puts "不超過背包容量的最大物品價值為 #{res}"
+end

zh-hant/codes/rust/chapter_array_and_linkedlist/array.rs

@@ -74,7 +74,6 @@ fn find(nums: &[i32], target: i32) -> Option<usize> {
 fn main() {
     /* 初始化陣列 */
     let arr: [i32; 5] = [0; 5];
-    let slice: &[i32] = &[0; 5];
     print!("陣列 arr = ");
     print_util::print_array(&arr);
     // 在 Rust 中，指定長度時（[i32; 5]）為陣列，不指定長度時（&[i32]）為切片

zh-hant/codes/rust/chapter_backtracking/preorder_traversal_i_compact.rs

@@ -10,7 +10,7 @@ use std::{cell::RefCell, rc::Rc};
 use tree_node::{vec_to_tree, TreeNode};
 
 /* 前序走訪：例題一 */
-fn pre_order(res: &mut Vec<Rc<RefCell<TreeNode>>>, root: Option<Rc<RefCell<TreeNode>>>) {
+fn pre_order(res: &mut Vec<Rc<RefCell<TreeNode>>>, root: Option<&Rc<RefCell<TreeNode>>>) {
     if root.is_none() {
         return;
     }
@@ -19,8 +19,8 @@ fn pre_order(res: &mut Vec<Rc<RefCell<TreeNode>>>, root: Option<Rc<RefCell<TreeN
             // 記錄解
             res.push(node.clone());
         }
-        pre_order(res, node.borrow().left.clone());
-        pre_order(res, node.borrow().right.clone());
+        pre_order(res, node.borrow().left.as_ref());
+        pre_order(res, node.borrow().right.as_ref());
     }
 }
 
@@ -32,7 +32,7 @@ pub fn main() {
 
     // 前序走訪
     let mut res = Vec::new();
-    pre_order(&mut res, root);
+    pre_order(&mut res, root.as_ref());
 
     println!("\n輸出所有值為 7 的節點");
     let mut vals = Vec::new();

zh-hant/codes/rust/chapter_backtracking/preorder_traversal_ii_compact.rs

@@ -13,7 +13,7 @@ use tree_node::{vec_to_tree, TreeNode};
 fn pre_order(
     res: &mut Vec<Vec<Rc<RefCell<TreeNode>>>>,
     path: &mut Vec<Rc<RefCell<TreeNode>>>,
-    root: Option<Rc<RefCell<TreeNode>>>,
+    root: Option<&Rc<RefCell<TreeNode>>>,
 ) {
     if root.is_none() {
         return;
@@ -25,10 +25,10 @@ fn pre_order(
             // 記錄解
             res.push(path.clone());
         }
-        pre_order(res, path, node.borrow().left.clone());
-        pre_order(res, path, node.borrow().right.clone());
+        pre_order(res, path, node.borrow().left.as_ref());
+        pre_order(res, path, node.borrow().right.as_ref());
         // 回退
-        path.remove(path.len() - 1);
+        path.pop();
     }
 }
 
@@ -41,7 +41,7 @@ pub fn main() {
     // 前序走訪
     let mut path = Vec::new();
     let mut res = Vec::new();
-    pre_order(&mut res, &mut path, root);
+    pre_order(&mut res, &mut path, root.as_ref());
 
     println!("\n輸出所有根節點到節點 7 的路徑");
     for path in res {

zh-hant/codes/rust/chapter_backtracking/preorder_traversal_iii_compact.rs

@@ -13,7 +13,7 @@ use tree_node::{vec_to_tree, TreeNode};
 fn pre_order(
     res: &mut Vec<Vec<Rc<RefCell<TreeNode>>>>,
     path: &mut Vec<Rc<RefCell<TreeNode>>>,
-    root: Option<Rc<RefCell<TreeNode>>>,
+    root: Option<&Rc<RefCell<TreeNode>>>,
 ) {
     // 剪枝
     if root.is_none() || root.as_ref().unwrap().borrow().val == 3 {
@@ -26,10 +26,10 @@ fn pre_order(
             // 記錄解
             res.push(path.clone());
         }
-        pre_order(res, path, node.borrow().left.clone());
-        pre_order(res, path, node.borrow().right.clone());
+        pre_order(res, path, node.borrow().left.as_ref());
+        pre_order(res, path, node.borrow().right.as_ref());
         // 回退
-        path.remove(path.len() - 1);
+        path.pop();
     }
 }
 
@@ -42,7 +42,7 @@ pub fn main() {
     // 前序走訪
     let mut path = Vec::new();
     let mut res = Vec::new();
-    pre_order(&mut res, &mut path, root);
+    pre_order(&mut res, &mut path, root.as_ref());
 
     println!("\n輸出所有根節點到節點 7 的路徑，路徑中不包含值為 3 的節點");
     for path in res {

zh-hant/codes/rust/chapter_backtracking/preorder_traversal_iii_template.rs

@@ -11,7 +11,7 @@ use tree_node::{vec_to_tree, TreeNode};
 
 /* 判斷當前狀態是否為解 */
 fn is_solution(state: &mut Vec<Rc<RefCell<TreeNode>>>) -> bool {
-    return !state.is_empty() && state.get(state.len() - 1).unwrap().borrow().val == 7;
+    return !state.is_empty() && state.last().unwrap().borrow().val == 7;
 }
 
 /* 記錄解 */
@@ -23,8 +23,8 @@ fn record_solution(
 }
 
 /* 判斷在當前狀態下，該選擇是否合法 */
-fn is_valid(_: &mut Vec<Rc<RefCell<TreeNode>>>, choice: Rc<RefCell<TreeNode>>) -> bool {
-    return choice.borrow().val != 3;
+fn is_valid(_: &mut Vec<Rc<RefCell<TreeNode>>>, choice: Option<&Rc<RefCell<TreeNode>>>) -> bool {
+    return choice.is_some() && choice.unwrap().borrow().val != 3;
 }
 
 /* 更新狀態 */
@@ -34,13 +34,13 @@ fn make_choice(state: &mut Vec<Rc<RefCell<TreeNode>>>, choice: Rc<RefCell<TreeNo
 
 /* 恢復狀態 */
 fn undo_choice(state: &mut Vec<Rc<RefCell<TreeNode>>>, _: Rc<RefCell<TreeNode>>) {
-    state.remove(state.len() - 1);
+    state.pop();
 }
 
 /* 回溯演算法：例題三 */
 fn backtrack(
     state: &mut Vec<Rc<RefCell<TreeNode>>>,
-    choices: &mut Vec<Rc<RefCell<TreeNode>>>,
+    choices: &Vec<Option<&Rc<RefCell<TreeNode>>>>,
     res: &mut Vec<Vec<Rc<RefCell<TreeNode>>>>,
 ) {
     // 檢查是否為解
@@ -49,22 +49,22 @@ fn backtrack(
         record_solution(state, res);
     }
     // 走訪所有選擇
-    for choice in choices {
+    for &choice in choices.iter() {
         // 剪枝：檢查選擇是否合法
-        if is_valid(state, choice.clone()) {
+        if is_valid(state, choice) {
             // 嘗試：做出選擇，更新狀態
-            make_choice(state, choice.clone());
+            make_choice(state, choice.unwrap().clone());
             // 進行下一輪選擇
             backtrack(
                 state,
-                &mut vec![
-                    choice.borrow().left.clone().unwrap(),
-                    choice.borrow().right.clone().unwrap(),
+                &vec![
+                    choice.unwrap().borrow().left.as_ref(),
+                    choice.unwrap().borrow().right.as_ref(),
                 ],
                 res,
             );
             // 回退：撤銷選擇，恢復到之前的狀態
-            undo_choice(state, choice.clone());
+            undo_choice(state, choice.unwrap().clone());
         }
     }
 }
@@ -77,7 +77,7 @@ pub fn main() {
 
     // 回溯演算法
     let mut res = Vec::new();
-    backtrack(&mut Vec::new(), &mut vec![root.unwrap()], &mut res);
+    backtrack(&mut Vec::new(), &mut vec![root.as_ref()], &mut res);
 
     println!("\n輸出所有根節點到節點 7 的路徑，要求路徑中不包含值為 3 的節點");
     for path in res {

zh-hant/docs/chapter_computational_complexity/performance_evaluation.md

@@ -7,7 +7,7 @@
 
 也就是說，在能夠解決問題的前提下，演算法效率已成為衡量演算法優劣的主要評價指標，它包括以下兩個維度。
 
-- **時間效率**：演算法執行速度的快慢。
+- **時間效率**：演算法執行時間的長短。
 - **空間效率**：演算法佔用記憶體空間的大小。
 
 簡而言之，**我們的目標是設計“既快又省”的資料結構與演算法**。而有效地評估演算法效率至關重要，因為只有這樣，我們才能將各種演算法進行對比，進而指導演算法設計與最佳化過程。
@@ -18,7 +18,7 @@
 
 假設我們現在有演算法 `A` 和演算法 `B` ，它們都能解決同一問題，現在需要對比這兩個演算法的效率。最直接的方法是找一臺計算機，執行這兩個演算法，並監控記錄它們的執行時間和記憶體佔用情況。這種評估方式能夠反映真實情況，但也存在較大的侷限性。
 
-一方面，**難以排除測試環境的干擾因素**。硬體配置會影響演算法的效能。比如在某臺計算機中，演算法 `A` 的執行時間比演算法 `B` 短；但在另一臺配置不同的計算機中，可能得到相反的測試結果。這意味著我們需要在各種機器上進行測試，統計平均效率，而這是不現實的。
+一方面，**難以排除測試環境的干擾因素**。硬體配置會影響演算法的效能表現。比如一個演算法的並行度較高，那麼它就更適合在多核 CPU 上執行，一個演算法的記憶體操作密集，那麼它在高效能記憶體上的表現就會更好。也就是說，演算法在不同的機器上的測試結果可能是不一致的。這意味著我們需要在各種機器上進行測試，統計平均效率，而這是不現實的。
 
 另一方面，**展開完整測試非常耗費資源**。隨著輸入資料量的變化，演算法會表現出不同的效率。例如，在輸入資料量較小時，演算法 `A` 的執行時間比演算法 `B` 短；而在輸入資料量較大時，測試結果可能恰恰相反。因此，為了得到有說服力的結論，我們需要測試各種規模的輸入資料，而這需要耗費大量的計算資源。
 
@@ -32,8 +32,9 @@
 - “隨著輸入資料大小的增加”意味著複雜度反映了演算法執行效率與輸入資料體量之間的關係。
 - “時間和空間的增長趨勢”表示複雜度分析關注的不是執行時間或佔用空間的具體值，而是時間或空間增長的“快慢”。
 
-**複雜度分析克服了實際測試方法的弊端**，體現在以下兩個方面。
+**複雜度分析克服了實際測試方法的弊端**，體現在以下幾個方面。
 
+- 它無需實際執行程式碼，更加綠色節能。
 - 它獨立於測試環境，分析結果適用於所有執行平臺。
 - 它可以體現不同資料量下的演算法效率，尤其是在大資料量下的演算法效能。
 

zh-hant/docs/chapter_computational_complexity/time_complexity.md

@@ -534,7 +534,7 @@ $$
 
 - **時間複雜度能夠有效評估演算法效率**。例如，演算法 `B` 的執行時間呈線性增長，在 $n > 1$ 時比演算法 `A` 更慢，在 $n > 1000000$ 時比演算法 `C` 更慢。事實上，只要輸入資料大小 $n$ 足夠大，複雜度為“常數階”的演算法一定優於“線性階”的演算法，這正是時間增長趨勢的含義。
 - **時間複雜度的推算方法更簡便**。顯然，執行平臺和計算操作型別都與演算法執行時間的增長趨勢無關。因此在時間複雜度分析中，我們可以簡單地將所有計算操作的執行時間視為相同的“單位時間”，從而將“計算操作執行時間統計”簡化為“計算操作數量統計”，這樣一來估算難度就大大降低了。
-- **時間複雜度也存在一定的侷限性**。例如，儘管演算法 `A` 和 `C` 的時間複雜度相同，但實際執行時間差別很大。同樣，儘管演算法 `B` 的時間複雜度比 `C` 高，但在輸入資料大小 $n$ 較小時，演算法 `B` 明顯優於演算法 `C` 。在這些情況下，我們很難僅憑時間複雜度判斷演算法效率的高低。當然，儘管存在上述問題，複雜度分析仍然是評判演算法效率最有效且常用的方法。
+- **時間複雜度也存在一定的侷限性**。例如，儘管演算法 `A` 和 `C` 的時間複雜度相同，但實際執行時間差別很大。同樣，儘管演算法 `B` 的時間複雜度比 `C` 高，但在輸入資料大小 $n$ 較小時，演算法 `B` 明顯優於演算法 `C` 。對於此類情況，我們時常難以僅憑時間複雜度判斷演算法效率的高低。當然，儘管存在上述問題，複雜度分析仍然是評判演算法效率最有效且常用的方法。
 
 ## 函式漸近上界
 

zh-hant/docs/chapter_data_structure/summary.md

@@ -35,7 +35,7 @@
 
 **Q**：原碼轉二補數的方法是“先取反後加 1”，那麼二補數轉原碼應該是逆運算“先減 1 後取反”，而二補數轉原碼也一樣可以透過“先取反後加 1”得到，這是為什麼呢？
 
-**A**：這是因為原碼和二補數的相互轉換實際上是計算“補數”的過程。我們先給出補數的定義：假設 $a + b = c$ ，那麼我們稱 $a$ 是 $b$ 到 $c$ 的補數，反之也稱 $b$ 是 $a$ 到 $c$ 的補數。
+這是因為原碼和二補數的相互轉換實際上是計算“補數”的過程。我們先給出補數的定義：假設 $a + b = c$ ，那麼我們稱 $a$ 是 $b$ 到 $c$ 的補數，反之也稱 $b$ 是 $a$ 到 $c$ 的補數。
 
 給定一個 $n = 4$ 位長度的二進位制數 $0010$ ，如果將這個數字看作原碼（不考慮符號位），那麼它的二補數需透過“先取反後加 1”得到：
 
@@ -63,4 +63,4 @@ $$
 
 本質上看，“取反”操作實際上是求到 $1111$ 的補數（因為恆有 `原碼 + 一補數 = 1111`）；而在一補數基礎上再加 1 得到的二補數，就是到 $10000$ 的補數。
 
-上述 $n = 4$ 為例，其可推廣至任意位數的二進位制數。
+上述以 $n = 4$ 為例，其可被推廣至任意位數的二進位制數。

zh-hant/docs/chapter_heap/heap.md

@@ -405,7 +405,7 @@
 === "Ruby"
 
     ```ruby title="heap.rb"
-
+    # Ruby 未提供內建 Heap 類別
     ```
 
 === "Zig"