From c04e8961b0c8eef7355b66ce54e42cbf8019ae61 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: krahets Date: Fri, 21 Jul 2023 22:21:09 +0800 Subject: [PATCH] build --- .../build_binary_tree_problem.md | 30 +++++++++++++++-- chapter_divide_and_conquer/hanota_problem.md | 32 +++++++++++++++++-- chapter_greedy/fractional_knapsack_problem.md | 6 ++-- chapter_greedy/max_capacity_problem.md | 6 ++-- chapter_greedy/max_product_cutting_problem.md | 6 ++-- chapter_hashing/hash_map.md | 4 +-- 6 files changed, 65 insertions(+), 19 deletions(-) diff --git a/chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem.md b/chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem.md index 16b137ba9..acbdd2a96 100644 --- a/chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem.md +++ b/chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem.md @@ -171,9 +171,35 @@ status: new === "Go" ```go title="build_tree.go" - [class]{}-[func]{dfs} + /* 构建二叉树：分治 */ + func dfsBuildTree(preorder, inorder []int, hmap map[int]int, i, l, r int) *TreeNode { + // 子树区间为空时终止 + if r-l < 0 { + return nil + } + // 初始化根节点 + root := NewTreeNode(preorder[i]) + // 查询 m ，从而划分左右子树 + m := hmap[preorder[i]] + // 子问题：构建左子树 + root.Left = dfsBuildTree(preorder, inorder, hmap, i+1, l, m-1) + // 子问题：构建右子树 + root.Right = dfsBuildTree(preorder, inorder, hmap, i+1+m-l, m+1, r) + // 返回根节点 + return root + } - [class]{}-[func]{buildTree} + /* 构建二叉树 */ + func buildTree(preorder, inorder []int) *TreeNode { + // 初始化哈希表，存储 inorder 元素到索引的映射 + hmap := make(map[int]int, len(inorder)) + for i := 0; i < len(inorder); i++ { + hmap[inorder[i]] = i + } + + root := dfsBuildTree(preorder, inorder, hmap, 0, 0, len(inorder)-1) + return root + } ``` === "JavaScript" diff --git a/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem.md b/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem.md index f34a26be9..d87b2ee80 100644 --- a/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem.md +++ b/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem.md @@ -193,11 +193,37 @@ status: new === "Go" ```go title="hanota.go" - [class]{}-[func]{move} + /* 移动一个圆盘 */ + func move(src, tar *list.List) { + // 从 src 顶部拿出一个圆盘 + pan := src.Back() + // 将圆盘放入 tar 顶部 + tar.PushBack(pan.Value) + // 移除 src 顶部圆盘 + src.Remove(pan) + } - [class]{}-[func]{dfs} + /* 求解汉诺塔：问题 f(i) */ + func dfsHanota(i int, src, buf, tar *list.List) { + // 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar + if i == 1 { + move(src, tar) + return + } + // 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf + dfsHanota(i-1, src, tar, buf) + // 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar + move(src, tar) + // 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar + dfsHanota(i-1, buf, src, tar) + } - [class]{}-[func]{hanota} + /* 求解汉诺塔 */ + func hanota(A, B, C *list.List) { + n := A.Len() + // 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C + dfsHanota(n, A, B, C) + } ``` === "JavaScript" diff --git a/chapter_greedy/fractional_knapsack_problem.md b/chapter_greedy/fractional_knapsack_problem.md index 22849898c..30da64082 100644 --- a/chapter_greedy/fractional_knapsack_problem.md +++ b/chapter_greedy/fractional_knapsack_problem.md @@ -15,8 +15,6 @@ status: new

Fig. 分数背包问题的示例数据

-### 第一步：问题分析 - 本题和 0-1 背包整体上非常相似，状态包含当前物品 $i$ 和容量 $c$ ，目标是求不超过背包容量下的最大价值。 不同点在于，本题允许只选择物品的一部分，我们可以对物品任意地进行切分，并按照重量比例来计算物品价值，因此有： @@ -28,7 +26,7 @@ status: new

Fig. 物品在单位重量下的价值

-### 第二步：贪心策略确定 +### 贪心策略确定 最大化背包内物品总价值，**本质上是要最大化单位重量下的物品价值**。由此便可推出本题的贪心策略： @@ -222,7 +220,7 @@ status: new 最差情况下，需要遍历整个物品列表，**因此时间复杂度为 $O(n)$** ，其中 $n$ 为物品数量。由于初始化了一个 `Item` 对象列表，**因此空间复杂度为 $O(n)$** 。 -### 第三步：正确性证明 +### 正确性证明 采用反证法。假设物品 $x$ 是单位价值最高的物品，使用某算法求得最大价值为 $res$ ，但该解中不包含物品 $x$ 。 diff --git a/chapter_greedy/max_capacity_problem.md b/chapter_greedy/max_capacity_problem.md index 8a51f81f7..c67d731d4 100644 --- a/chapter_greedy/max_capacity_problem.md +++ b/chapter_greedy/max_capacity_problem.md @@ -15,8 +15,6 @@ status: new

Fig. 最大容量问题的示例数据

-### 第一步：问题分析 - 容器由任意两个隔板围成，**因此本题的状态为两个隔板的索引，记为 $[i, j]$** 。 根据定义，容量等于高度乘以宽度，其中高度由短板决定，宽度是两隔板的索引之差。设容量为 $cap[i, j]$ ，可得计算公式： @@ -27,7 +25,7 @@ $$ 设数组长度为 $n$ ，两个隔板的组合数量（即状态总数）为 $C_n^2 = \frac{n(n - 1)}{2}$ 个。最直接地，**我们可以穷举所有状态**，从而求得最大容量，时间复杂度为 $O(n^2)$ 。 -### 第二步：贪心策略确定 +### 贪心策略确定 当然，这道题还有更高效率的解法。如下图所示，现选取一个状态 $[i, j]$ ，其满足索引 $i < j$ 且高度 $ht[i] < ht[j]$ ，即 $i$ 为短板、 $j$ 为长板。 @@ -208,7 +206,7 @@ $$ [class]{}-[func]{maxCapacity} ``` -### 第三步：正确性证明 +### 正确性证明 之所以贪心比穷举更快，是因为每轮的贪心选择都会“跳过”一些状态。 diff --git a/chapter_greedy/max_product_cutting_problem.md b/chapter_greedy/max_product_cutting_problem.md index e1276463d..065c476e1 100644 --- a/chapter_greedy/max_product_cutting_problem.md +++ b/chapter_greedy/max_product_cutting_problem.md @@ -9,8 +9,6 @@ status: new 给定一个正整数 $n$ ，将其切分为至少两个正整数的和，求切分后所有整数的乘积最大是多少。 -### 第一步：问题分析 - ![最大切分乘积的问题定义](max_product_cutting_problem.assets/max_product_cutting_definition.png)

Fig. 最大切分乘积的问题定义

@@ -29,7 +27,7 @@ $$ 我们需要思考的是：切分数量 $m$ 应该多大，每个 $n_i$ 应该是多少？ -### 第二步：贪心策略确定 +### 贪心策略确定 根据经验，两个整数的和往往比它们的积更小。假设从 $n$ 中分出一个因子 $2$ ，则它们的乘积为 $2(n-2)$ 。我们将该乘积与 $n$ 作比较： @@ -205,7 +203,7 @@ $$ 变量 $a$ , $b$ 使用常数大小的额外空间，**因此空间复杂度为 $O(1)$** 。 -### 第三步：正确性证明 +### 正确性证明 使用反证法，只分析 $n \geq 3$ 的情况。 diff --git a/chapter_hashing/hash_map.md b/chapter_hashing/hash_map.md index 29d9f3acb..14c784c41 100755 --- a/chapter_hashing/hash_map.md +++ b/chapter_hashing/hash_map.md @@ -1410,8 +1410,8 @@ index = hash(key) % capacity 对于上述示例中的哈希函数，当输入的 `key` 后两位相同时，哈希函数的输出结果也相同。例如，查询学号为 12836 和 20336 的两个学生时，我们得到： ```shell -12386 % 100 = 36 -20386 % 100 = 36 +12836 % 100 = 36 +20336 % 100 = 36 ``` 如下图所示，两个学号指向了同一个姓名，这显然是不对的。我们将这种多个输入对应同一输出的情况称为「哈希冲突 Hash Collision」。