From be0abac555fcc8644ea8c190a7003122ffeddc90 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: XiaoqiangWu <39110174+wuxiaoqiang12@users.noreply.github.com>
Date: Thu, 15 Dec 2022 11:22:01 +0800
Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?=E5=AE=8C=E6=88=90=E5=AD=97=E7=AC=A6=E4=B8=B2?=
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MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

完善字符串哈希部分的操作步骤描述
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 docs/chapter_hashing/hash_map.md | 51 ++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 51 insertions(+)

diff --git a/docs/chapter_hashing/hash_map.md b/docs/chapter_hashing/hash_map.md
index 793d90323..9643ce556 100644
--- a/docs/chapter_hashing/hash_map.md
+++ b/docs/chapter_hashing/hash_map.md
@@ -300,3 +300,54 @@ $$
 - 尽量少地发生哈希冲突；
 - 时间复杂度 $O(1)$ ，计算尽可能高效；
 - 空间使用率高，即 “键值对占用空间 / 哈希表总占用空间” 尽可能大；
+
+## 常用哈希函数
+
+下面介绍两种常见的哈希类型，数字哈希和字符串哈希。
+
+### 数字哈希
+
+对于需要将数字哈希化的场景，常采用对大质数取模的方式作为哈希函数以此来减少冲突。若用 $N$ 来表示所选取的大质数，则哈希函数 $f(x)$ 可表达为
+
+$$
+f(x) = (x (\mod N) + N)(\mod N)
+$$
+
+该函数在第一次取模后还有一次加 $N$ 的操作是因为在某些编程语言如 C/C++ 中负数取模会得到负数，这与数学中的取模运算定义不同（数学定义中无论正负数取模的结果均为正数）。另外，我们常常将取模后的值作为数组中的索引，这样正数也能保证数组索引的正确性。
+
+大质数的选择取决于你希望哈希后的长度，若一堆数字你希望哈希后分布在 $0-n$ 之间，则 $N$ 选择大于 $n$ 的大质数即可。选择算法示例如下：
+
+=== "C"
+
+    ```c title="prime_num_sel.c"
+        int main() {
+            for (int i = 1000; ;i++) {
+				int flag = 0;
+                for (int j = 2; j < i; j++) {
+                    if (i % j == 0) {
+                        flag = 1;
+						break;
+                    }
+                }
+                if (flag == 0) {
+                    printf("the prime number is %d", i);
+                    break;
+                }
+            }
+            return 0;
+        }
+    ```
+    
+### 字符串哈希
+
+这里介绍一种被称作“字符串前缀哈希”的算法来实现字符串的哈希化。若有一字符串 `str = "abcedacbd"`，则哈希表中的元素表示从左边起到第 `i` 个位置上的子字符串的哈希值。即，`f(1) -> "a"; f(2) -> "ab"; f(3) -> "abc"`，以此类推。
+
+具体过程如下
+
+1. 将字符串存储在下标为 `1` 的 `char` 数组中；
+2. 计算字符串的前缀数字，将他们哈希化，将字符串看作是一个 `P` 进制数，这里 `P = 131` 或者 `P = 13331`。按照经验，这两个值对字符串哈希会产生非常小的冲突可能。
+3. 将这个 `P` 进制数转换为10进制，通常转换出来的数字会很大，则将其对 `Q` 取模。这样任意一个字符串都可以转换成 $0 \cdots Q - 1$ 之间的数字：$(1234)_P => (1 * P^3 + 2 * P^2 + 3 * P^1 + 4 * P^0) \mod Q$
+4. 对于`Hash`函数，将计算字符串中从 `l` 到 `r` 的哈希值，通过前缀哈希表以及下公式计算，注意左侧为低位，右侧为高位。
+
+`f(r) - f(l - 1) * p[r - l + 1]` ，其中 `p` 数组存放了从 $P^0 \sim P^N$ 的所有数字，方便查询。
+