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chapter_backtracking/n_queens_problem.md

@@ -2,7 +2,7 @@
 comments: true
 ---
 
-# 12.3.   N 皇后问题
+# 12.4.   N 皇后问题
 
 !!! question
 
@@ -62,8 +62,8 @@ comments: true
             // 计算该格子对应的主对角线和副对角线
             int diag1 = row - col + n - 1;
             int diag2 = row + col;
-            // 剪枝：不允许该格子所在 (列 或 主对角线 或 副对角线) 包含皇后
+            // 剪枝：不允许该格子所在列、主对角线、副对角线存在皇后
-            if (!(cols[col] || diags1[diag1] || diags2[diag2])) {
+            if (!cols[col] && !diags1[diag1] && !diags2[diag2]) {
                 // 尝试：将皇后放置在该格子
                 state.get(row).set(col, "Q");
                 cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = true;
@@ -114,8 +114,8 @@ comments: true
             // 计算该格子对应的主对角线和副对角线
             int diag1 = row - col + n - 1;
             int diag2 = row + col;
-            // 剪枝：不允许该格子所在 (列 或 主对角线 或 副对角线) 包含皇后
+            // 剪枝：不允许该格子所在列、主对角线、副对角线存在皇后
-            if (!(cols[col] || diags1[diag1] || diags2[diag2])) {
+            if (!cols[col] && !diags1[diag1] && !diags2[diag2]) {
                 // 尝试：将皇后放置在该格子
                 state[row][col] = "Q";
                 cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = true;
@@ -165,8 +165,8 @@ comments: true
             # 计算该格子对应的主对角线和副对角线
             diag1 = row - col + n - 1
             diag2 = row + col
-            # 剪枝：不允许该格子所在 (列 或 主对角线 或 副对角线) 包含皇后
+            # 剪枝：不允许该格子所在列、主对角线、副对角线存在皇后
-            if not (cols[col] or diags1[diag1] or diags2[diag2]):
+            if not cols[col] and not diags1[diag1] and not diags2[diag2]:
                 # 尝试：将皇后放置在该格子
                 state[row][col] = "Q"
                 cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = True
@@ -209,8 +209,8 @@ comments: true
             // 计算该格子对应的主对角线和副对角线
             diag1 := row - col + n - 1
             diag2 := row + col
-            // 剪枝：不允许该格子所在 (列 或 主对角线 或 副对角线) 包含皇后
+            // 剪枝：不允许该格子所在列、主对角线、副对角线存在皇后
-            if !((*cols)[col] || (*diags1)[diag1] || (*diags2)[diag2]) {
+            if !(*cols)[col] && !(*diags1)[diag1] && !(*diags2)[diag2] {
                 // 尝试：将皇后放置在该格子
                 (*state)[row][col] = "Q"
                 (*cols)[col], (*diags1)[diag1], (*diags2)[diag2] = true, true, true
@@ -240,8 +240,8 @@ comments: true
             // 计算该格子对应的主对角线和副对角线
             diag1 := row - col + n - 1
             diag2 := row + col
-            // 剪枝：不允许该格子所在 (列 或 主对角线 或 副对角线) 包含皇后
+            // 剪枝：不允许该格子所在列、主对角线、副对角线存在皇后
-            if !((*cols)[col] || (*diags1)[diag1] || (*diags2)[diag2]) {
+            if !(*cols)[col] && !(*diags1)[diag1] && !(*diags2)[diag2] {
                 // 尝试：将皇后放置在该格子
                 (*state)[row][col] = "Q"
                 (*cols)[col], (*diags1)[diag1], (*diags2)[diag2] = true, true, true
@@ -289,8 +289,8 @@ comments: true
             // 计算该格子对应的主对角线和副对角线
             const diag1 = row - col + n - 1;
             const diag2 = row + col;
-            // 剪枝：不允许该格子所在 (列 或 主对角线 或 副对角线) 包含皇后
+            // 剪枝：不允许该格子所在列、主对角线、副对角线存在皇后
-            if (!(cols[col] || diags1[diag1] || diags2[diag2])) {
+            if (!cols[col] && !diags1[diag1] && !diags2[diag2]) {
                 // 尝试：将皇后放置在该格子
                 state[row][col] = 'Q';
                 cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = true;
@@ -340,8 +340,8 @@ comments: true
             // 计算该格子对应的主对角线和副对角线
             const diag1 = row - col + n - 1;
             const diag2 = row + col;
-            // 剪枝：不允许该格子所在 (列 或 主对角线 或 副对角线) 包含皇后
+            // 剪枝：不允许该格子所在列、主对角线、副对角线存在皇后
-            if (!(cols[col] || diags1[diag1] || diags2[diag2])) {
+            if (!cols[col] && !diags1[diag1] && !diags2[diag2]) {
                 // 尝试：将皇后放置在该格子
                 state[row][col] = 'Q';
                 cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = true;
@@ -396,8 +396,8 @@ comments: true
             // 计算该格子对应的主对角线和副对角线
             int diag1 = row - col + n - 1;
             int diag2 = row + col;
-            // 剪枝：不允许该格子所在 (列 或 主对角线 或 副对角线) 包含皇后
+            // 剪枝：不允许该格子所在列、主对角线、副对角线存在皇后
-            if (!(cols[col] || diags1[diag1] || diags2[diag2])) {
+            if (!cols[col] && !diags1[diag1] && !diags2[diag2]) {
                 // 尝试：将皇后放置在该格子
                 state[row][col] = "Q";
                 cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = true;
@@ -447,8 +447,8 @@ comments: true
             // 计算该格子对应的主对角线和副对角线
             let diag1 = row - col + n - 1
             let diag2 = row + col
-            // 剪枝：不允许该格子所在 (列 或 主对角线 或 副对角线) 包含皇后
+            // 剪枝：不允许该格子所在列、主对角线、副对角线存在皇后
-            if !(cols[col] || diags1[diag1] || diags2[diag2]) {
+            if !cols[col] && !diags1[diag1] && !diags2[diag2] {
                 // 尝试：将皇后放置在该格子
                 state[row][col] = "Q"
                 cols[col] = true
@@ -496,7 +496,7 @@ comments: true
     [class]{}-[func]{nQueens}
     ```
 
-## 12.3.1.   复杂度分析
+## 12.4.1.   复杂度分析
 
 逐行放置 $n$ 次，考虑列约束，则从第一行到最后一行分别有 $n, n-1, \cdots, 2, 1$ 个选择，**因此时间复杂度为 $O(n!)$** 。实际上，根据对角线约束的剪枝也能够大幅地缩小搜索空间，因而搜索效率往往优于以上时间复杂度。
 

chapter_backtracking/subset_sum_problem.md

@@ -0,0 +1,608 @@
+---
+comments: true
+---
+
+# 12.3.   子集和问题
+
+!!! question
+
+    给定一个正整数数组 `nums` 和一个目标正整数 `target` ，请找出所有可能的组合，使得组合中的元素和等于 `target` 。给定数组无重复元素，每个元素可以被选取多次。请以列表形式返回这些组合，列表中不应包含重复组合。
+
+例如，输入集合 $\{3, 4, 5\}$ 和目标整数 $9$ ，由于集合中的数字可以被重复选取，因此解为 $\{3, 3, 3\}, \{4, 5\}$ 。请注意，子集是不区分元素顺序的，例如 $\{4, 5\}$ 和 $\{5, 4\}$ 是同一个子集。
+
+## 12.3.1.   参考全排列解法
+
+从回溯算法的角度看，我们可以把子集的生成过程想象成一系列选择的结果，并在选择过程中实时更新“元素和”，当元素和等于 `target` 时，就将子集记录至结果列表。
+
+与上节全排列问题不同的是，本题允许重复选取同一元素，因此无需借助 `selected` 布尔列表来记录元素是否已被选择。我们可以对全排列代码进行小幅修改，初步得到解题代码。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="subset_sum_i_naive.java"
+    /* 回溯算法：子集和 I */
+    void backtrack(List<Integer> state, int target, int total, int[] choices, List<List<Integer>> res) {
+        // 子集和等于 target 时，记录解
+        if (total == target) {
+            res.add(new ArrayList<>(state));
+            return;
+        }
+        // 遍历所有选择
+        for (int i = 0; i < choices.length; i++) {
+            // 剪枝：若子集和超过 target ，则跳过该选择
+            if (total + choices[i] > target) {
+                continue;
+            }
+            // 尝试：做出选择，更新元素和 total
+            state.add(choices[i]);
+            // 进行下一轮选择
+            backtrack(state, target, total + choices[i], choices, res);
+            // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
+            state.remove(state.size() - 1);
+        }
+    }
+
+    /* 求解子集和 I（包含重复子集） */
+    List<List<Integer>> subsetSumINaive(int[] nums, int target) {
+        List<Integer> state = new ArrayList<>(); // 状态（子集）
+        int total = 0; // 子集和
+        List<List<Integer>> res = new ArrayList<>(); // 结果列表（子集列表）
+        backtrack(state, target, total, nums, res);
+        return res;
+    }
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="subset_sum_i_naive.cpp"
+    /* 回溯算法：子集和 I */
+    void backtrack(vector<int> &state, int target, int total, vector<int> &choices, vector<vector<int>> &res) {
+        // 子集和等于 target 时，记录解
+        if (total == target) {
+            res.push_back(state);
+            return;
+        }
+        // 遍历所有选择
+        for (size_t i = 0; i < choices.size(); i++) {
+            // 剪枝：若子集和超过 target ，则跳过该选择
+            if (total + choices[i] > target) {
+                continue;
+            }
+            // 尝试：做出选择，更新元素和 total
+            state.push_back(choices[i]);
+            // 进行下一轮选择
+            backtrack(state, target, total + choices[i], choices, res);
+            // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
+            state.pop_back();
+        }
+    }
+
+    /* 求解子集和 I（包含重复子集） */
+    vector<vector<int>> subsetSumINaive(vector<int> &nums, int target) {
+        vector<int> state;       // 状态（子集）
+        int total = 0;           // 子集和
+        vector<vector<int>> res; // 结果列表（子集列表）
+        backtrack(state, target, total, nums, res);
+        return res;
+    }
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="subset_sum_i_naive.py"
+    def backtrack(
+        state: list[int],
+        target: int,
+        total: int,
+        choices: list[int],
+        res: list[list[int]],
+    ):
+        """回溯算法：子集和 I"""
+        # 子集和等于 target 时，记录解
+        if total == target:
+            res.append(list(state))
+            return
+        # 遍历所有选择
+        for i in range(len(choices)):
+            # 剪枝：若子集和超过 target ，则跳过该选择
+            if total + choices[i] > target:
+                continue
+            # 尝试：做出选择，更新元素和 total
+            state.append(choices[i])
+            # 进行下一轮选择
+            backtrack(state, target, total + choices[i], choices, res)
+            # 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
+            state.pop()
+
+    def subset_sum_i_naive(nums: list[int], target: int) -> list[list[int]]:
+        """求解子集和 I（包含重复子集）"""
+        state = []  # 状态（子集）
+        total = 0  # 子集和
+        res = []  # 结果列表（子集列表）
+        backtrack(state, target, total, nums, res)
+        return res
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="subset_sum_i_naive.go"
+    [class]{}-[func]{backtrackINaive}
+
+    [class]{}-[func]{subsetSumINaive}
+    ```
+
+=== "JavaScript"
+
+    ```javascript title="subset_sum_i_naive.js"
+    [class]{}-[func]{backtrack}
+
+    [class]{}-[func]{subsetSumINaive}
+    ```
+
+=== "TypeScript"
+
+    ```typescript title="subset_sum_i_naive.ts"
+    [class]{}-[func]{backtrack}
+
+    [class]{}-[func]{subsetSumINaive}
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="subset_sum_i_naive.c"
+    [class]{}-[func]{backtrack}
+
+    [class]{}-[func]{subsetSumINaive}
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="subset_sum_i_naive.cs"
+    [class]{subset_sum_i_naive}-[func]{backtrack}
+
+    [class]{subset_sum_i_naive}-[func]{subsetSumINaive}
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title="subset_sum_i_naive.swift"
+    [class]{}-[func]{backtrack}
+
+    [class]{}-[func]{subsetSumINaive}
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title="subset_sum_i_naive.zig"
+    [class]{}-[func]{backtrack}
+
+    [class]{}-[func]{subsetSumINaive}
+    ```
+
+=== "Dart"
+
+    ```dart title="subset_sum_i_naive.dart"
+    [class]{}-[func]{backtrack}
+
+    [class]{}-[func]{subsetSumINaive}
+    ```
+
+向以上代码输入数组 $[3, 4, 5]$ 和目标元素 $9$ ，输出结果为 $[3, 3, 3], [4, 5], [5, 4]$ 。**虽然成功找出了所有和为 $9$ 的子集，但其中存在重复的子集 $[4, 5]$ 和 $[5, 4]$** 。这是因为搜索过程是区分选择顺序的，如下图所示，先选 $4$ 后选 $5$ 与先选 $5$ 后选 $4$ 是两种不同的情况。
+
+![子集搜索与越界剪枝](subset_sum_problem.assets/subset_sum_i_naive.png)
+
+<p align="center"> Fig. 子集搜索与越界剪枝 </p>
+
+## 12.3.2. &nbsp; 重复子集剪枝
+
+为了去除重复子集，**一种直接的思路是对结果列表进行去重**。但这个方法效率很低，因为：
+
+- 当数组元素较多，尤其是当 `target` 较大时，搜索过程会产生大量的重复子集。
+- 比较子集（数组）的异同是很耗时的，需要先排序数组，再比较数组中每个元素的异同。
+
+为了达到最佳效率，**我们希望在搜索过程中通过剪枝进行去重**。观察下图，重复子集是在以不同顺序选择数组元素时产生的，具体来看：
+
+1. 第一轮和第二轮分别选择 $3$ , $4$ ，会生成包含这两个元素的所有子集，记为 $[3, 4, \cdots]$ 。
+2. 若第一轮选择 $4$ ，**则第二轮应该跳过 $3$** ，因为该选择产生的子集 $[4, 3, \cdots]$ 和 `1.` 中提到的子集完全重复。
+3. 同理，若第一轮选择 $5$ ，**则第二轮应该跳过 $3$ 和 $4$** ，因为子集 $[5, 3, \cdots]$ 和子集 $[5, 4, \cdots]$ 和之前的子集重复。
+
+![不同选择顺序导致的重复子集](subset_sum_problem.assets/subset_sum_i_pruning.png)
+
+<p align="center"> Fig. 不同选择顺序导致的重复子集 </p>
+
+总结来看，给定输入数组 $[x_1, x_2, \cdots, x_n]$ ，设搜索过程中的选择序列为 $[x_{i_1}, x_{i_2}, \cdots , x_{i_m}]$ ，则该选择序列需要满足 $i_1 \leq i_2 \leq \cdots \leq i_m$ 。**不满足该条件的选择序列都是重复子集**。
+
+为实现该剪枝，我们初始化变量 `start` ，用于指示遍历起点。**当做出选择 $x_{i}$ 后，设定下一轮从索引 $i$ 开始遍历**，从而完成子集去重。
+
+除此之外，我们还对代码进行了两项优化。首先，我们在开启搜索前将数组 `nums` 排序，在搜索过程中，**当子集和超过 `target` 时直接结束循环**，因为后边的元素更大，其子集和都一定会超过 `target` 。其次，**我们通过在 `target` 上执行减法来统计元素和**，当 `target` 等于 $0$ 时记录解，省去了元素和变量 `total` 。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="subset_sum_i.java"
+    /* 回溯算法：子集和 I */
+    void backtrack(List<Integer> state, int target, int[] choices, int start, List<List<Integer>> res) {
+        // 子集和等于 target 时，记录解
+        if (target == 0) {
+            res.add(new ArrayList<>(state));
+            return;
+        }
+        // 遍历所有选择
+        // 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
+        for (int i = start; i < choices.length; i++) {
+            // 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
+            // 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
+            if (target - choices[i] < 0) {
+                break;
+            }
+            // 尝试：做出选择，更新 target, start
+            state.add(choices[i]);
+            // 进行下一轮选择
+            backtrack(state, target - choices[i], choices, i, res);
+            // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
+            state.remove(state.size() - 1);
+        }
+    }
+
+    /* 求解子集和 I */
+    List<List<Integer>> subsetSumI(int[] nums, int target) {
+        List<Integer> state = new ArrayList<>(); // 状态（子集）
+        Arrays.sort(nums); // 对 nums 进行排序
+        int start = 0; // 遍历起始点
+        List<List<Integer>> res = new ArrayList<>(); // 结果列表（子集列表）
+        backtrack(state, target, nums, start, res);
+        return res;
+    }
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="subset_sum_i.cpp"
+    /* 回溯算法：子集和 I */
+    void backtrack(vector<int> &state, int target, vector<int> &choices, int start, vector<vector<int>> &res) {
+        // 子集和等于 target 时，记录解
+        if (target == 0) {
+            res.push_back(state);
+            return;
+        }
+        // 遍历所有选择
+        // 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
+        for (int i = start; i < choices.size(); i++) {
+            // 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
+            // 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
+            if (target - choices[i] < 0) {
+                break;
+            }
+            // 尝试：做出选择，更新 target, start
+            state.push_back(choices[i]);
+            // 进行下一轮选择
+            backtrack(state, target - choices[i], choices, i, res);
+            // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
+            state.pop_back();
+        }
+    }
+
+    /* 求解子集和 I */
+    vector<vector<int>> subsetSumI(vector<int> &nums, int target) {
+        vector<int> state;              // 状态（子集）
+        sort(nums.begin(), nums.end()); // 对 nums 进行排序
+        int start = 0;                  // 遍历起始点
+        vector<vector<int>> res;        // 结果列表（子集列表）
+        backtrack(state, target, nums, start, res);
+        return res;
+    }
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="subset_sum_i.py"
+    def backtrack(
+        state: list[int], target: int, choices: list[int], start: int, res: list[list[int]]
+    ):
+        """回溯算法：子集和 I"""
+        # 子集和等于 target 时，记录解
+        if target == 0:
+            res.append(list(state))
+            return
+        # 遍历所有选择
+        # 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
+        for i in range(start, len(choices)):
+            # 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
+            # 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
+            if target - choices[i] < 0:
+                break
+            # 尝试：做出选择，更新 target, start
+            state.append(choices[i])
+            # 进行下一轮选择
+            backtrack(state, target - choices[i], choices, i, res)
+            # 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
+            state.pop()
+
+    def subset_sum_i(nums: list[int], target: int) -> list[list[int]]:
+        """求解子集和 I"""
+        state = []  # 状态（子集）
+        nums.sort()  # 对 nums 进行排序
+        start = 0  # 遍历起始点
+        res = []  # 结果列表（子集列表）
+        backtrack(state, target, nums, start, res)
+        return res
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="subset_sum_i.go"
+    [class]{}-[func]{backtrackI}
+
+    [class]{}-[func]{subsetSumI}
+    ```
+
+=== "JavaScript"
+
+    ```javascript title="subset_sum_i.js"
+    [class]{}-[func]{backtrack}
+
+    [class]{}-[func]{subsetSumI}
+    ```
+
+=== "TypeScript"
+
+    ```typescript title="subset_sum_i.ts"
+    [class]{}-[func]{backtrack}
+
+    [class]{}-[func]{subsetSumI}
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="subset_sum_i.c"
+    [class]{}-[func]{backtrack}
+
+    [class]{}-[func]{subsetSumI}
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="subset_sum_i.cs"
+    [class]{subset_sum_i}-[func]{backtrack}
+
+    [class]{subset_sum_i}-[func]{subsetSumI}
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title="subset_sum_i.swift"
+    [class]{}-[func]{backtrack}
+
+    [class]{}-[func]{subsetSumI}
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title="subset_sum_i.zig"
+    [class]{}-[func]{backtrack}
+
+    [class]{}-[func]{subsetSumI}
+    ```
+
+=== "Dart"
+
+    ```dart title="subset_sum_i.dart"
+    [class]{}-[func]{backtrack}
+
+    [class]{}-[func]{subsetSumI}
+    ```
+
+如下图所示，为将数组 $[3, 4, 5]$ 和目标元素 $9$ 输入到以上代码后的整体回溯过程。
+
+![子集和 I 回溯过程](subset_sum_problem.assets/subset_sum_i.png)
+
+<p align="center"> Fig. 子集和 I 回溯过程 </p>
+
+## 12.3.3. &nbsp; 考虑相等元素
+
+!!! question
+
+    给定一个正整数数组 `nums` 和一个目标正整数 `target` ，请找出所有可能的组合，使得组合中的元素和等于 `target` 。**给定数组可能包含重复元素，每个元素只可被选择一次**。请以列表形式返回这些组合，列表中不应包含重复组合。
+
+相比于上题，**本题的输入数组可能包含重复元素**，这引入了新的问题。例如，给定数组 $[4, \hat{4}, 5]$ 和目标元素 $9$ ，则现有代码的输出结果为 $[4, 5], [\hat{4}, 5]$ ，也出现了重复子集。**造成这种重复的原因是相等元素在某轮中被多次选择**。如下图所示，第一轮共有三个选择，其中两个都为 $4$ ，会产生两个重复的搜索分支，从而输出重复子集；同理，第二轮的两个 $4$ 也会产生重复子集。
+
+![相等元素导致的重复子集](subset_sum_problem.assets/subset_sum_ii_repeat.png)
+
+<p align="center"> Fig. 相等元素导致的重复子集 </p>
+
+为解决此问题，**我们需要限制相等元素在每一轮中只被选择一次**。实现方式比较巧妙：由于数组是已排序的，因此相等元素都是相邻的。利用该特性，在某轮选择中，若当前元素与其左边元素相等，则说明它已经被选择过，因此直接跳过当前元素。
+
+与此同时，**本题规定数组元素只能被选择一次**。幸运的是，我们也可以利用变量 `start` 来满足该约束：当做出选择 $x_{i}$ 后，设定下一轮从索引 $i + 1$ 开始向后遍历。这样即能去除重复子集，也能避免重复选择相等元素。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="subset_sum_ii.java"
+    /* 回溯算法：子集和 II */
+    void backtrack(List<Integer> state, int target, int[] choices, int start, List<List<Integer>> res) {
+        // 子集和等于 target 时，记录解
+        if (target == 0) {
+            res.add(new ArrayList<>(state));
+            return;
+        }
+        // 遍历所有选择
+        // 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
+        // 剪枝三：从 start 开始遍历，避免重复选择同一元素
+        for (int i = start; i < choices.length; i++) {
+            // 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
+            // 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
+            if (target - choices[i] < 0) {
+                break;
+            }
+            // 剪枝四：如果该元素与左边元素相等，说明该搜索分支重复，直接跳过
+            if (i > start && choices[i] == choices[i - 1]) {
+                continue;
+            }
+            // 尝试：做出选择，更新 target, start
+            state.add(choices[i]);
+            // 进行下一轮选择
+            backtrack(state, target - choices[i], choices, i + 1, res);
+            // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
+            state.remove(state.size() - 1);
+        }
+    }
+
+    /* 求解子集和 II */
+    List<List<Integer>> subsetSumII(int[] nums, int target) {
+        List<Integer> state = new ArrayList<>(); // 状态（子集）
+        Arrays.sort(nums); // 对 nums 进行排序
+        int start = 0; // 遍历起始点
+        List<List<Integer>> res = new ArrayList<>(); // 结果列表（子集列表）
+        backtrack(state, target, nums, start, res);
+        return res;
+    }
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="subset_sum_ii.cpp"
+    /* 回溯算法：子集和 II */
+    void backtrack(vector<int> &state, int target, vector<int> &choices, int start, vector<vector<int>> &res) {
+        // 子集和等于 target 时，记录解
+        if (target == 0) {
+            res.push_back(state);
+            return;
+        }
+        // 遍历所有选择
+        // 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
+        // 剪枝三：从 start 开始遍历，避免重复选择同一元素
+        for (int i = start; i < choices.size(); i++) {
+            // 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
+            // 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
+            if (target - choices[i] < 0) {
+                break;
+            }
+            // 剪枝四：如果该元素与左边元素相等，说明该搜索分支重复，直接跳过
+            if (i > start && choices[i] == choices[i - 1]) {
+                continue;
+            }
+            // 尝试：做出选择，更新 target, start
+            state.push_back(choices[i]);
+            // 进行下一轮选择
+            backtrack(state, target - choices[i], choices, i + 1, res);
+            // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
+            state.pop_back();
+        }
+    }
+
+    /* 求解子集和 II */
+    vector<vector<int>> subsetSumII(vector<int> &nums, int target) {
+        vector<int> state;              // 状态（子集）
+        sort(nums.begin(), nums.end()); // 对 nums 进行排序
+        int start = 0;                  // 遍历起始点
+        vector<vector<int>> res;        // 结果列表（子集列表）
+        backtrack(state, target, nums, start, res);
+        return res;
+    }
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="subset_sum_ii.py"
+    def backtrack(
+        state: list[int], target: int, choices: list[int], start: int, res: list[list[int]]
+    ):
+        """回溯算法：子集和 II"""
+        # 子集和等于 target 时，记录解
+        if target == 0:
+            res.append(list(state))
+            return
+        # 遍历所有选择
+        # 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
+        # 剪枝三：从 start 开始遍历，避免重复选择同一元素
+        for i in range(start, len(choices)):
+            # 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
+            # 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
+            if target - choices[i] < 0:
+                break
+            # 剪枝四：如果该元素与左边元素相等，说明该搜索分支重复，直接跳过
+            if i > start and choices[i] == choices[i - 1]:
+                continue
+            # 尝试：做出选择，更新 target, start
+            state.append(choices[i])
+            # 进行下一轮选择
+            backtrack(state, target - choices[i], choices, i + 1, res)
+            # 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
+            state.pop()
+
+    def subset_sum_ii(nums: list[int], target: int) -> list[list[int]]:
+        """求解子集和 II"""
+        state = []  # 状态（子集）
+        nums.sort()  # 对 nums 进行排序
+        start = 0  # 遍历起始点
+        res = []  # 结果列表（子集列表）
+        backtrack(state, target, nums, start, res)
+        return res
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="subset_sum_ii.go"
+    [class]{}-[func]{backtrackII}
+
+    [class]{}-[func]{subsetSumII}
+    ```
+
+=== "JavaScript"
+
+    ```javascript title="subset_sum_ii.js"
+    [class]{}-[func]{backtrack}
+
+    [class]{}-[func]{subsetSumII}
+    ```
+
+=== "TypeScript"
+
+    ```typescript title="subset_sum_ii.ts"
+    [class]{}-[func]{backtrack}
+
+    [class]{}-[func]{subsetSumII}
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="subset_sum_ii.c"
+    [class]{}-[func]{backtrack}
+
+    [class]{}-[func]{subsetSumII}
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="subset_sum_ii.cs"
+    [class]{subset_sum_ii}-[func]{backtrack}
+
+    [class]{subset_sum_ii}-[func]{subsetSumII}
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title="subset_sum_ii.swift"
+    [class]{}-[func]{backtrack}
+
+    [class]{}-[func]{subsetSumII}
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title="subset_sum_ii.zig"
+    [class]{}-[func]{backtrack}
+
+    [class]{}-[func]{subsetSumII}
+    ```
+
+=== "Dart"
+
+    ```dart title="subset_sum_ii.dart"
+    [class]{}-[func]{backtrack}
+
+    [class]{}-[func]{subsetSumII}
+    ```
+
+下图展示了数组 $[4, 4, 5]$ 和目标元素 $9$ 的回溯过程，共包含四种剪枝操作。建议你将图示与代码注释相结合，理解整个搜索过程，以及每种剪枝操作是如何工作的。
+
+![子集和 II 回溯过程](subset_sum_problem.assets/subset_sum_ii.png)
+
+<p align="center"> Fig. 子集和 II 回溯过程 </p>