build

2023-03-19 23:38:17 +08:00 · 2023-03-19 23:38:17 +08:00 · 2ac1840c60
commit 2ac1840c60
parent 88af400ba9
2 changed files with 267 additions and 1 deletions
--- a/chapter_sorting/counting_sort.md
+++ b/chapter_sorting/counting_sort.md
@ -0,0 +1,266 @@
+---
+comments: true
+---
+
+# 11.6. &nbsp; 计数排序
+
+前面介绍的几种排序算法都属于 **基于比较的排序算法**，即通过比较元素之间的大小来实现排序，此类排序算法的时间复杂度无法超越 $O(n \log n)$ 。接下来，我们将学习一种 **非比较排序算法** ，名为「计数排序 Counting Sort」，其时间复杂度可以达到 $O(n)$ 。
+
+## 11.6.1. &nbsp; 简单实现
+
+先看一个简单例子。给定一个长度为 $n$ 的数组 `nums` ，元素皆为 **非负整数**。计数排序的整体流程为：
+
+1. 统计数组的最大数字，记为 $m$ ，并建立一个长度为 $m + 1$ 的辅助数组 `counter` ；
+2. **借助 `counter` 统计 `nums` 中各数字的出现次数**，其中 `counter[num]` 对应数字 `num` 的出现次数。统计方法很简单，只需遍历 `nums` （设当前数字为 `num`），每轮将 `counter[num]` 自增 $1$ 即可。
+3. **由于 `counter` 的各个索引是天然有序的，因此相当于所有数字已经被排序好了**。接下来，我们遍历 `counter` ，根据各数字的出现次数，将各数字按从小到大的顺序填入 `nums` 即可。
+
+=== "<1>"
+    ![counting_sort_naive_step1](counting_sort.assets/counting_sort_naive_step1.png)
+
+=== "<2>"
+    ![counting_sort_naive_step2](counting_sort.assets/counting_sort_naive_step2.png)
+
+=== "<3>"
+    ![counting_sort_naive_step3](counting_sort.assets/counting_sort_naive_step3.png)
+
+以下是实现代码，计数排序名副其实，确实是通过“统计数量”来实现排序的。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="counting_sort.java"
+    /* 计数排序 */
+    // 该实现无法用于排序对象
+    void countingSortNaive(int[] nums) {
+        // 1. 统计数组最大元素 m
+        int m = 0;
+        for (int num : nums) {
+            m = Math.max(m, num);
+        }
+        // 2. 统计各数字的出现次数
+        // counter[num] 代表 num 的出现次数
+        int[] counter = new int[m + 1];
+        for (int num : nums) {
+            counter[num]++;
+        }
+        // 3. 遍历 counter ，将各元素填入原数组 nums
+        int i = 0;
+        for (int num = 0; num < m + 1; num++) {
+            for (int j = 0; j < counter[num]; j++, i++) {
+                nums[i] = num;
+            }
+        }
+    }
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="counting_sort.cpp"
+    [class]{}-[func]{countingSortNaive}
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="counting_sort.py"
+    [class]{}-[func]{counting_sort_naive}
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="counting_sort.go"
+    [class]{}-[func]{countingSortNaive}
+    ```
+
+=== "JavaScript"
+
+    ```javascript title="counting_sort.js"
+    [class]{}-[func]{countingSortNaive}
+    ```
+
+=== "TypeScript"
+
+    ```typescript title="counting_sort.ts"
+    [class]{}-[func]{countingSortNaive}
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="counting_sort.c"
+    [class]{}-[func]{countingSortNaive}
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="counting_sort.cs"
+    [class]{counting_sort}-[func]{countingSortNaive}
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title="counting_sort.swift"
+    [class]{}-[func]{countingSortNaive}
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title="counting_sort.zig"
+    [class]{}-[func]{countingSortNaive}
+    ```
+
+## 11.6.2. &nbsp; 完整实现
+
+细心的同学可能发现，**如果输入数据是对象，上述步骤 `3.` 就失效了**。例如输入数据是商品对象，我们想要按照商品价格（类的成员变量）对商品进行排序，而上述算法只能给出价格的排序结果。
+
+那么如何才能得到原数据的排序结果呢？我们首先计算 `counter` 的「前缀和」，顾名思义，索引 `i` 处的前缀和 `prefix[i]` 等于数组前 `i` 个元素之和，即
+
+$$
+\text{prefix}[i] = \sum_{j=0}^i \text{counter[j]}
+$$
+
+**前缀和具有明确意义，`prefix[num] - 1` 代表元素 `num` 在结果数组 `res` 中最后一次出现的索引**。这个信息很关键，因为其给出了各个元素应该出现在结果数组的哪个位置。接下来，我们倒序遍历原数组 `nums` 的每个元素 `num` ，在每轮迭代中执行：
+
+1. 将 `num` 填入数组 `res` 的索引 `prefix[num] - 1` 处；
+2. 令前缀和 `prefix[num]` 自减 $1$ ，从而得到下次放置 `num` 的索引；
+
+完成遍历后，数组 `res` 中就是排序好的结果，最后使用 `res` 覆盖原数组 `nums` 即可；
+
+=== "<1>"
+    ![counting_sort_step1](counting_sort.assets/counting_sort_step1.png)
+
+=== "<2>"
+    ![counting_sort_step2](counting_sort.assets/counting_sort_step2.png)
+
+=== "<3>"
+    ![counting_sort_step3](counting_sort.assets/counting_sort_step3.png)
+
+=== "<4>"
+    ![counting_sort_step4](counting_sort.assets/counting_sort_step4.png)
+
+=== "<5>"
+    ![counting_sort_step5](counting_sort.assets/counting_sort_step5.png)
+
+=== "<6>"
+    ![counting_sort_step6](counting_sort.assets/counting_sort_step6.png)
+
+=== "<7>"
+    ![counting_sort_step7](counting_sort.assets/counting_sort_step7.png)
+
+=== "<8>"
+    ![counting_sort_step8](counting_sort.assets/counting_sort_step8.png)
+
+计数排序的实现代码如下所示。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="counting_sort.java"
+    /* 计数排序 */
+    // 该实现可排序对象，并且是稳定排序
+    void countingSort(int[] nums) {
+        // 1. 统计数组最大元素 m
+        int m = 0;
+        for (int num : nums) {
+            m = Math.max(m, num);
+        }
+        // 2. 统计各数字的出现次数
+        // counter[num] 代表 num 的出现次数
+        int[] counter = new int[m + 1];
+        for (int num : nums) {
+            counter[num]++;
+        }
+        // 3. 求 counter 的前缀和，将“出现次数”转换为“尾索引”
+        // 即 counter[num]-1 是 num 在 res 中最后一次出现的索引
+        for (int i = 0; i < m; i++) {
+            counter[i + 1] += counter[i];
+        }
+        // 4. 倒序遍历 nums ，将各元素填入结果数组 res
+        // 初始化数组 res 用于记录结果
+        int n = nums.length;
+        int[] res = new int[n];
+        for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
+            int num = nums[i];
+            res[counter[num] - 1] = num; // 将 num 放置到对应索引处
+            counter[num]--; // 令前缀和自减 1 ，得到下次放置 num 的索引
+        }
+        // 使用结果数组 res 覆盖原数组 nums
+        for (int i = 0; i < n; i++) {
+            nums[i] = res[i];
+        }
+    }
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="counting_sort.cpp"
+    [class]{}-[func]{countingSort}
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="counting_sort.py"
+    [class]{}-[func]{counting_sort}
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="counting_sort.go"
+    [class]{}-[func]{countingSort}
+    ```
+
+=== "JavaScript"
+
+    ```javascript title="counting_sort.js"
+    [class]{}-[func]{countingSort}
+    ```
+
+=== "TypeScript"
+
+    ```typescript title="counting_sort.ts"
+    [class]{}-[func]{countingSort}
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="counting_sort.c"
+    [class]{}-[func]{countingSort}
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="counting_sort.cs"
+    [class]{counting_sort}-[func]{countingSort}
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title="counting_sort.swift"
+    [class]{}-[func]{countingSort}
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title="counting_sort.zig"
+    [class]{}-[func]{countingSort}
+    ```
+
+## 11.6.3. &nbsp; 算法特性
+
+**时间复杂度 $O(n + m)$** ：涉及遍历 `nums` 和遍历 `counter` ，都使用线性时间。一般情况下 $n \gg m$ ，此时使用线性 $O(n)$ 时间。
+
+**空间复杂度 $O(n + m)$** ：数组 `res` 和 `counter` 长度分别为 $n$ , $m$ 。
+
+**非原地排序**：借助了辅助数组 `counter` 和结果数组 `res` 的额外空间。
+
+**稳定排序**：倒序遍历 `nums` 保持了相等元素的相对位置。
+
+**非自适应排序**：与元素分布无关。
+
+!!! question "为什么是稳定排序？"
+
+    由于向 `res` 中填充元素的顺序是“从右向左”的，因此倒序遍历 `nums` 可以避免改变相等元素之间的相对位置，从而实现“稳定排序”；其实正序遍历 `nums` 也可以得到正确的排序结果，但结果“非稳定”。
+
+## 11.6.4. &nbsp; 局限性
+
+看到这里，你也许会觉得计数排序太妙了，咔咔一通操作，时间复杂度就下来了。但实际上与其它算法一样，计数排序也无法摆脱“此消彼长”的宿命，**时间复杂度优化的代价是通用型变差**。
+
+**计数排序只适用于非负整数**。若想要用在其他类型数据上，则要求该数据必须可以被转化为非负整数，并且不能改变各个元素之间的相对大小关系。例如，对于包含负数的整数数组，可以先给所有数字加上一个常数，将全部数字转化为正数，排序完成后再转换回去即可。
+
+**计数排序只适用于数据范围不大的情况**。比如，上述示例中 $m$ 不能太大，否则占用空间太多；而当 $n \ll m$ 时，计数排序使用 $O(m)$ 时间，有可能比 $O(n \log n)$ 的排序算法还要慢。
--- a/chapter_sorting/summary.md
+++ b/chapter_sorting/summary.md
@ -2,7 +2,7 @@
 comments: true
 ---

-# 11.6. &nbsp; 小结
+# 11.7. &nbsp; 小结

 - 冒泡排序通过交换相邻元素来实现排序。通过增加标志位实现提前返回，我们可将冒泡排序的最佳时间复杂度优化至 $O(N)$ 。
 - 插入排序每轮将待排序区间内元素插入至已排序区间的正确位置，从而实现排序。插入排序的时间复杂度虽为 $O(N^2)$ ，但因为总体操作少而很受欢迎，一般用于小数据量的排序工作。