build

chapter_computational_complexity/space_complexity.md

@@ -375,7 +375,7 @@ comments: true
         int a = 0;               // O(1)
         int b[10000];            // O(1)
         if (n > 10)
-            vector<int> nums(n); // O(n)
+            int nums[n] = {0};   // O(n)
     }
     ```
 

chapter_divide_and_conquer/binary_search_recur.md

@@ -128,9 +128,34 @@ status: new
 === "Go"
 
     ```go title="binary_search_recur.go"
-    [class]{}-[func]{dfs}
+    /* 二分查找：问题 f(i, j) */
+    func dfs(nums []int, target, i, j int) int {
+        // 如果区间为空，代表没有目标元素，则返回 -1
+        if i > j {
+            return -1
+        }
+        //    计算索引中点
+        m := i + ((j - i) >> 1)
+        //判断中点与目标元素大小
+        if nums[m] < target {
+            // 小于则递归右半数组
+            // 递归子问题 f(m+1, j)
+            return dfs(nums, target, m+1, j)
+        } else if nums[m] > target {
+            // 小于则递归左半数组
+            // 递归子问题 f(i, m-1)
+            return dfs(nums, target, i, m-1)
+        } else {
+            // 找到目标元素，返回其索引
+            return m
+        }
+    }
 
-    [class]{}-[func]{binarySearch}
+    /* 二分查找 */
+    func binarySearch(nums []int, target int) int {
+        n := len(nums)
+        return dfs(nums, target, 0, n-1)
+    }
     ```
 
 === "JavaScript"

chapter_graph/graph_operations.md

@@ -575,32 +575,38 @@ comments: true
     ```c title="graph_adjacency_matrix.c"
     /* 基于邻接矩阵实现的无向图类结构 */
     struct graphAdjMat {
-        int *vertices;
+        int *vertices;         // 顶点列表
-        unsigned int **adjMat;
+        unsigned int **adjMat; // 邻接矩阵，元素代表“边”，索引代表“顶点索引”
-        unsigned int size;
+        unsigned int size;     // 顶点数量
-        unsigned int capacity;
+        unsigned int capacity; // 图容量
     };
 
     typedef struct graphAdjMat graphAdjMat;
 
     /* 添加边 */
+    // 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
     void addEdge(graphAdjMat *t, int i, int j) {
         // 越界检查
         if (i < 0 || j < 0 || i >= t->size || j >= t->size || i == j) {
             printf("Out of range in %s:%d\n", __FILE__, __LINE__);
             exit(1);
         }
+        // 添加边
+        // 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
         t->adjMat[i][j] = 1;
         t->adjMat[j][i] = 1;
     }
 
     /* 删除边 */
+    // 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
     void removeEdge(graphAdjMat *t, int i, int j) {
         // 越界检查
         if (i < 0 || j < 0 || i >= t->size || j >= t->size || i == j) {
             printf("Out of range in %s:%d\n", __FILE__, __LINE__);
             exit(1);
         }
+        // 删除边
+        // 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
         t->adjMat[i][j] = 0;
         t->adjMat[j][i] = 0;
     }
@@ -609,13 +615,13 @@ comments: true
     void addVertex(graphAdjMat *t, int val) {
         // 如果实际使用不大于预设空间，则直接初始化新空间
         if (t->size < t->capacity) {
-            t->vertices[t->size] = val;
+            t->vertices[t->size] = val; // 初始化新顶点值
 
-            // 邻接矩新列阵置0
+            
             for (int i = 0; i < t->size; i++) {
-                t->adjMat[i][t->size] = 0;
+                t->adjMat[i][t->size] = 0; // 邻接矩新列阵置0
             }
-            memset(t->adjMat[t->size], 0, sizeof(unsigned int) * (t->size + 1));
+            memset(t->adjMat[t->size], 0, sizeof(unsigned int) * (t->size + 1)); // 将新增行置 0
             t->size++;
             return;
         }
@@ -637,23 +643,21 @@ comments: true
             tempMat[k] = tempMatLine + k * (t->size * 2);
         }
 
-        // 原数据复制到新数组
         for (int i = 0; i < t->size; i++) {
-            memcpy(tempMat[i], t->adjMat[i], sizeof(unsigned int) * t->size);
+            memcpy(tempMat[i], t->adjMat[i], sizeof(unsigned int) * t->size); // 原数据复制到新数组
         }
 
-        // 新列置0
         for (int i = 0; i < t->size; i++) {
-            tempMat[i][t->size] = 0;
+            tempMat[i][t->size] = 0; // 将新增列置 0
         }
-        memset(tempMat[t->size], 0, sizeof(unsigned int) * (t->size + 1));
+        memset(tempMat[t->size], 0, sizeof(unsigned int) * (t->size + 1)); // 将新增行置 0
 
         // 释放原数组
         free(t->adjMat[0]);
         free(t->adjMat);
 
         // 扩容后，指向新地址
-        t->adjMat = tempMat;
+        t->adjMat = tempMat;  // 指向新的邻接矩阵地址
         t->capacity = t->size * 2;
         t->size++;
     }
@@ -665,28 +669,21 @@ comments: true
             printf("Out of range in %s:%d\n", __FILE__, __LINE__);
             exit(1);
         }
-
-        // 清除删除的顶点，并将其后所有顶点前移
         for (int i = index; i < t->size - 1; i++) {
-            t->vertices[i] = t->vertices[i + 1];
+            t->vertices[i] = t->vertices[i + 1]; // 清除删除的顶点，并将其后所有顶点前移
         }
-
+        t->vertices[t->size - 1] = 0; // 将被前移的最后一个顶点置 0
-        // 将被前移的最后一个顶点置0
-        t->vertices[t->size - 1] = 0;
 
         // 清除邻接矩阵中删除的列
         for (int i = 0; i < t->size - 1; i++) {
             if (i < index) {
-                // 被删除列后的所有列前移
                 for (int j = index; j < t->size - 1; j++) {
-                    t->adjMat[i][j] = t->adjMat[i][j + 1];
+                    t->adjMat[i][j] = t->adjMat[i][j + 1]; // 被删除列后的所有列前移
                 }
-            } else {
+            } else { 
-                // 被删除行的下方所有行上移
+                memcpy(t->adjMat[i], t->adjMat[i + 1], sizeof(unsigned int) * t->size); // 被删除行的下方所有行上移
-                memcpy(t->adjMat[i], t->adjMat[i + 1], sizeof(unsigned int) * t->size);
-                // 被删除列后的所有列前移
                 for (int j = index; j < t->size; j++) {
-                    t->adjMat[i][j] = t->adjMat[i][j + 1];
+                    t->adjMat[i][j] = t->adjMat[i][j + 1]; // 被删除列后的所有列前移
                 }
             }
         }
@@ -724,28 +721,27 @@ comments: true
     }
 
     /* 构造函数 */
-    graphAdjMat *newGraphic(unsigned int numberVertices, int *vertices, unsigned int **adjMat) {
+    graphAdjMat *newGraphAjdMat(unsigned int numberVertices, int *vertices, unsigned int **adjMat) {
-        // 函数指针
-        graphAdjMat *newGraph = (graphAdjMat *)malloc(sizeof(graphAdjMat));
-
         // 申请内存
-        newGraph->vertices = (int *)malloc(sizeof(int) * numberVertices * 2);
+        graphAdjMat *newGraph = (graphAdjMat *)malloc(sizeof(graphAdjMat));                                          // 为图分配内存
-        newGraph->adjMat = (unsigned int **)malloc(sizeof(unsigned int *) * numberVertices * 2);
+        newGraph->vertices = (int *)malloc(sizeof(int) * numberVertices * 2);                                        // 为顶点列表分配内存
-        unsigned int *temp = (unsigned int *)malloc(sizeof(unsigned int) * numberVertices * 2 * numberVertices * 2);
+        newGraph->adjMat = (unsigned int **)malloc(sizeof(unsigned int *) * numberVertices * 2);                     // 为邻接矩阵分配二维内存
-        newGraph->size = numberVertices;
+        unsigned int *temp = (unsigned int *)malloc(sizeof(unsigned int) * numberVertices * 2 * numberVertices * 2); // 为邻接矩阵分配一维内存
-        newGraph->capacity = numberVertices * 2;
+        newGraph->size = numberVertices;                                                                             // 初始化顶点数量
+        newGraph->capacity = numberVertices * 2;                                                                     // 初始化图容量
 
         // 配置二维数组
         for (int i = 0; i < numberVertices * 2; i++) {
-            newGraph->adjMat[i] = temp + i * numberVertices * 2;
+            newGraph->adjMat[i] = temp + i * numberVertices * 2; // 将二维指针指向一维数组
         }
 
         // 赋值
         memcpy(newGraph->vertices, vertices, sizeof(int) * numberVertices);
         for (int i = 0; i < numberVertices; i++) {
-            memcpy(newGraph->adjMat[i], adjMat[i], sizeof(unsigned int) * numberVertices);
+            memcpy(newGraph->adjMat[i], adjMat[i], sizeof(unsigned int) * numberVertices); // 将传入的邻接矩阵赋值给结构体内邻接矩阵
         }
 
+        // 返回结构体指针
         return newGraph;
     }
     ```
@@ -1552,12 +1548,9 @@ comments: true
     ```c title="graph_adjacency_list.c"
     /* 基于邻接链表实现的无向图类结构 */
     struct graphAdjList {
-        // 顶点列表
+        Vertex **verticesList; // 邻接表
-        Vertex **verticesList;
+        unsigned int size;     // 顶点数量
-        // 顶点数量
+        unsigned int capacity; // 顶点容量
-        unsigned int size;
-        // 当前容量
-        unsigned int capacity;
     };
 
     typedef struct graphAdjList graphAdjList;
@@ -1569,13 +1562,13 @@ comments: true
             printf("Out of range in %s:%d\n", __FILE__, __LINE__);
             return;
         }
-        // 查找待连接的节点
+        // 查找欲添加边的顶点 vet1 - vet2
-        Vertex *v1 = t->verticesList[i];
+        Vertex *vet1 = t->verticesList[i];
-        Vertex *v2 = t->verticesList[j];
+        Vertex *vet2 = t->verticesList[j];
 
-        // 连接节点
+        // 连接顶点 vet1 - vet2
-        pushBack(v1->linked, v2);
+        pushBack(vet1->linked, vet2);
-        pushBack(v2->linked, v1);
+        pushBack(vet2->linked, vet1);
     }
 
     /* 删除边 */
@@ -1586,13 +1579,13 @@ comments: true
             return;
         }
 
-        // 查找待删除边的相关节点
+        // 查找欲删除边的顶点 vet1 - vet2
-        Vertex *v1 = t->verticesList[i];
+        Vertex *vet1 = t->verticesList[i];
-        Vertex *v2 = t->verticesList[j];
+        Vertex *vet2 = t->verticesList[j];
 
-        // 移除待删除边
+        // 移除待删除边 vet1 - vet2
-        removeLink(v1->linked, v2);
+        removeLink(vet1->linked, vet2);
-        removeLink(v2->linked, v1);
+        removeLink(vet2->linked, vet1);
     }
 
     /* 添加顶点 */
@@ -1601,16 +1594,15 @@ comments: true
         if (t->size >= t->capacity) {
             Vertex **tempList = (Vertex **)malloc(sizeof(Vertex *) * 2 * t->capacity);
             memcpy(tempList, t->verticesList, sizeof(Vertex *) * t->size);
-            free(t->verticesList);
+            free(t->verticesList);         // 释放原邻接表内存
-            // 指向新顶点表
+            t->verticesList = tempList;    // 指向新邻接表
-            t->verticesList = tempList;    
+            t->capacity = t->capacity * 2; // 容量扩大至2倍
-            t->capacity = t->capacity * 2;
         }
         // 申请新顶点内存并将新顶点地址存入顶点列表
-        Vertex *newV = newVertex(val);
+        Vertex *newV = newVertex(val);    // 建立新顶点
-        newV->pos = t->size;
+        newV->pos = t->size;              // 为新顶点标记下标
-        newV->linked = newLinklist(newV);
+        newV->linked = newLinklist(newV); // 为新顶点建立链表
-        t->verticesList[t->size] = newV;
+        t->verticesList[t->size] = newV;  // 将新顶点加入邻接表
         t->size++;
     }
 
@@ -1622,31 +1614,30 @@ comments: true
             exit(1);
         }
 
-        // 查找待删节点
+        Vertex *vet = t->verticesList[index]; // 查找待删节点
-        Vertex *v = t->verticesList[index];
+        if (vet == 0) {                       // 若不存在该节点，则返回
-        // 若不存在该节点，则返回
-        if (v == 0) {
             printf("index is:%d\n", index);
             printf("Out of range in %s:%d\n", __FILE__, __LINE__);
             return;
         }
 
-        // 遍历待删除节点链表，将所有与待删除结点有关的边删除
+        // 遍历待删除顶点的链表，将所有与待删除结点有关的边删除
-        Node *temp = v->linked->head->next;
+        Node *temp = vet->linked->head->next;
         while (temp != 0) {
-            removeLink(temp->val->linked, v);
+            removeLink(temp->val->linked, vet); // 删除与该顶点有关的边
-            temp = temp->next;
+            temp = temp->next;                
         }
 
-        // 定点列表前移
+        // 将顶点前移
         for (int i = index; i < t->size - 1; i++) {
-            t->verticesList[i] = t->verticesList[i + 1];
+            t->verticesList[i] = t->verticesList[i + 1]; // 顶点前移
+            t->verticesList[i]->pos--;                   // 所有前移的顶点索引值减1
         }
-        t->verticesList[t->size - 1] = 0;
+        t->verticesList[t->size - 1] = 0; // 将被删除顶点的位置置 0
         t->size--;
 
         //释放被删除顶点的内存
-        freeVertex(v);
+        freeVertex(vet);
     }
 
     /* 打印顶点与邻接矩阵 */
@@ -1668,16 +1659,16 @@ comments: true
     }
 
     /* 构造函数 */
-    graphAdjList *newGraphic(unsigned int verticesNumber) {
+    graphAdjList *newGraphAdjList(unsigned int verticesCapacity) {
         // 申请内存
         graphAdjList *newGraph = (graphAdjList *)malloc(sizeof(graphAdjList));
         // 建立顶点表并分配内存
-        newGraph->verticesList = (Vertex **)malloc(sizeof(Vertex *) * verticesNumber);
+        newGraph->verticesList = (Vertex **)malloc(sizeof(Vertex *) * verticesCapacity); // 为顶点列表分配内存
-        memset(newGraph->verticesList, 0, sizeof(Vertex *) * verticesNumber);
+        memset(newGraph->verticesList, 0, sizeof(Vertex *) * verticesCapacity);          // 顶点列表置 0
-        // 初始化大小和容量
+        newGraph->size = 0;                                                              // 初始化顶点数量
-        newGraph->size = 0;
+        newGraph->capacity = verticesCapacity;                                           // 初始化顶点容量
-        newGraph->capacity = verticesNumber;
+        // 返回图指针
-        return newGraph;
+        return newGraph;                
     }
     ```
 

chapter_graph/graph_traversal.md

@@ -219,7 +219,44 @@ BFS 通常借助「队列」来实现。队列具有“先入先出”的性质
 === "C"
 
     ```c title="graph_bfs.c"
-    [class]{}-[func]{graphBFS}
+    /* 广度优先遍历 */
+    // 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
+    Vertex **graphBFS(graphAdjList *t, Vertex *startVet) {
+        // 顶点遍历序列
+        Vertex **res = (Vertex **)malloc(sizeof(Vertex *) * t->size);
+        memset(res, 0, sizeof(Vertex *) * t->size);
+        // 队列用于实现 BFS
+        queue *que = newQueue(t->size);
+        // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
+        hashTable *visited = newHash(t->size);
+        int resIndex = 0;
+        queuePush(que, startVet);         // 将第一个元素入队
+        hashMark(visited, startVet->pos); // 标记第一个入队的顶点
+        // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
+        while (que->head < que->tail) {
+            // 遍历该顶点的边链表，将所有与该顶点有连接的，并且未被标记的顶点入队
+            Node *n = queueTop(que)->linked->head->next;
+            while (n != 0) {
+                // 查询哈希表，若该索引的顶点已入队，则跳过，否则入队并标记
+                if (hashQuery(visited, n->val->pos) == 1) {
+                    n = n->next;
+                    continue; // 跳过已被访问过的顶点
+                }
+                queuePush(que, n->val);         // 只入队未访问的顶点
+                hashMark(visited, n->val->pos); // 标记该顶点已被访问
+            }
+            // 队首元素存入数组
+            res[resIndex] = queueTop(que); // 队首顶点加入顶点遍历序列
+            resIndex++;
+            queuePop(que); // 队首元素出队
+        }
+        // 释放内存
+        freeQueue(que);
+        freeHash(visited);
+        resIndex = 0;
+        // 返回顶点遍历序列
+        return res;
+    }
     ```
 
 === "C#"
@@ -557,9 +594,40 @@ BFS 通常借助「队列」来实现。队列具有“先入先出”的性质
 === "C"
 
     ```c title="graph_dfs.c"
-    [class]{}-[func]{dfs}
+    /* 深度优先遍历 DFS 辅助函数 */
+    int resIndex = 0;
+    void dfs(graphAdjList *graph, hashTable *visited, Vertex *vet, Vertex **res) {
+        if (hashQuery(visited, vet->pos) == 1) {
+            return; // 跳过已被访问过的顶点
+        }
+        hashMark(visited, vet->pos); // 标记顶点并将顶点存入数组
+        res[resIndex] = vet;         // 将顶点存入数组
+        resIndex++;
+        // 遍历该顶点链表
+        Node *n = vet->linked->head->next;
+        while (n != 0) {
+            // 递归访问邻接顶点
+            dfs(graph, visited, n->val, res);
+            n = n->next;
+        }
+        return;
+    }
 
-    [class]{}-[func]{graphDFS}
+    /* 深度优先遍历 DFS */
+    // 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
+    Vertex **graphDFS(graphAdjList *graph, Vertex *startVet) {
+        // 顶点遍历序列
+        Vertex **res = (Vertex **)malloc(sizeof(Vertex *) * graph->size);
+        memset(res, 0, sizeof(Vertex *) * graph->size);
+        // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
+        hashTable *visited = newHash(graph->size);
+        dfs(graph, visited, startVet, res);
+        // 释放哈希表内存并将数组索引归零
+        freeHash(visited);
+        resIndex = 0;
+        // 返回遍历数组
+        return res;
+    }
     ```
 
 === "C#"

chapter_greedy/fractional_knapsack_problem.md

@@ -40,17 +40,7 @@ status: new
 
 <p align="center"> Fig. 分数背包的贪心策略 </p>
 
-**第三步：正确性证明**
+我们构建了一个物品类 `Item` ，以便将物品按照单位价值进行排序。循环进行贪心选择，当背包已满时跳出并返回解。
-
-采用反证法。假设物品 $x$ 是单位价值最高的物品，使用某算法求得最大价值为 $res$ ，但该解中不包含物品 $x$ 。
-
-现在从背包中拿出单位重量的任意物品，并替换为单位重量的物品 $x$ 。由于物品 $x$ 的单位价值最高，因此替换后的总价值一定大于 $res$ 。**这与 $res$ 是最优解矛盾，说明最优解中必须包含物品 $x$ 。**
-
-对于该解中的其他物品，我们也可以构建出上述矛盾。总而言之，**单位价值更大的物品总是更优选择**，这说明贪心策略是有效的。
-
-**实现代码**
-
-我们构建了一个物品类 `Item` ，以便将物品按照单位价值进行排序。在循环贪心选择中，分为放入整个物品或放入部分物品两种情况。当背包已满时，则跳出循环并返回解。
 
 === "Java"
 
@@ -228,10 +218,18 @@ status: new
     [class]{}-[func]{fractionalKnapsack}
     ```
 
-如下图所示，如果将一个 2D 图表的横轴和纵轴分别看作物品重量和物品单位价值，则分数背包问题可被转化为“求在有限横轴区间下的最大围成面积”。这个类比可以帮助我们从几何角度清晰地看到贪心策略的有效性。
+最差情况下，需要遍历整个物品列表，**因此时间复杂度为 $O(n)$** ，其中 $n$ 为物品数量。由于初始化了一个 `Item` 对象列表，**因此空间复杂度为 $O(n)$** 。
+
+**第三步：正确性证明**
+
+采用反证法。假设物品 $x$ 是单位价值最高的物品，使用某算法求得最大价值为 $res$ ，但该解中不包含物品 $x$ 。
+
+现在从背包中拿出单位重量的任意物品，并替换为单位重量的物品 $x$ 。由于物品 $x$ 的单位价值最高，因此替换后的总价值一定大于 $res$ 。**这与 $res$ 是最优解矛盾，说明最优解中必须包含物品 $x$ 。**
+
+对于该解中的其他物品，我们也可以构建出上述矛盾。总而言之，**单位价值更大的物品总是更优选择**，这说明贪心策略是有效的。
+
+如下图所示，如果将物品重量和物品单位价值分别看作一个 2D 图表的横轴和纵轴，则分数背包问题可被转化为“求在有限横轴区间下的最大围成面积”。这个类比可以帮助我们从几何角度清晰地看到贪心策略的有效性。
 
 ![分数背包问题的几何表示](fractional_knapsack_problem.assets/fractional_knapsack_area_chart.png)
 
 <p align="center"> Fig. 分数背包问题的几何表示 </p>
-
-最差情况下，需要遍历整个物品列表，**因此时间复杂度为 $O(n)$** ，其中 $n$ 为物品数量。由于初始化了一个 `Item` 对象列表，**因此空间复杂度为 $O(n)$** 。

chapter_greedy/greedy_algorithm.md

@@ -16,7 +16,7 @@ status: new
 
 !!! question
 
-    给定 $n$ 种硬币，第 $i$ 个硬币的面值为 $coins[i - 1]$ ，目标金额为 $amt$ ，**每种硬币可以重复选取**，问能够凑出目标金额的最少硬币个数。如果无法凑出目标金额则返回 $-1$ 。
+    给定 $n$ 种硬币，第 $i$ 个硬币的面值为 $coins[i - 1]$ ，目标金额为 $amt$ ，每种硬币可以重复选取，问能够凑出目标金额的最少硬币个数。如果无法凑出目标金额则返回 $-1$ 。
 
 贪心算法会迭代地做出一个又一个的贪心选择，每轮都将问题转化成一个规模更小的子问题，直到问题被解决。
 
@@ -190,8 +190,8 @@ status: new
 
 确定贪心策略是求解问题的核心步骤，但实施起来并没有那么容易。主要有两方面原因：
 
-1. **不同问题的贪心策略的差异较大**。对于许多问题来说，贪心策略都比较浅显，我们通过一些大概的思考与尝试就能得出。而对于一些复杂问题，贪心策略可能非常隐蔽，这种情况就非常考验个人的解题经验与算法能力了。
+- **不同问题的贪心策略的差异较大**。对于许多问题来说，贪心策略都比较浅显，我们通过一些大概的思考与尝试就能得出。而对于一些复杂问题，贪心策略可能非常隐蔽，这种情况就非常考验个人的解题经验与算法能力了。
-2. **某些贪心策略具有较强的迷惑性**。当我们满怀信心设计好贪心策略，写出解题代码并提交运行，很可能发现部分测试样例无法通过。这是因为设计的贪心策略只是“部分正确”的，上文介绍的零钱兑换就是个很好的例子。
+- **某些贪心策略具有较强的迷惑性**。当我们满怀信心设计好贪心策略，写出解题代码并提交运行，很可能发现部分测试样例无法通过。这是因为设计的贪心策略只是“部分正确”的，上文介绍的零钱兑换就是个很好的例子。
 
 为了保证正确性，我们应该对贪心策略进行严谨的数学证明，**通常需要用到反证法或数学归纳法**。
 

chapter_greedy/index.md

@@ -16,3 +16,4 @@ status: new
 
 - [15.1   贪心算法](https://www.hello-algo.com/chapter_greedy/greedy_algorithm/)
 - [15.2   分数背包问题](https://www.hello-algo.com/chapter_greedy/fractional_knapsack_problem/)
+- [15.3   最大容量问题](https://www.hello-algo.com/chapter_greedy/max_capacity_problem/)

chapter_greedy/max_capacity_problem.md

@@ -0,0 +1,227 @@
+---
+comments: true
+status: new
+---
+
+# 15.3.   最大容量问题
+
+!!! question
+
+    输入一个数组 $ht$ ，数组中的每个元素代表一个垂直隔板的高度。数组中的任意两个隔板，以及它们之间的空间可以组成一个容器。容器的容量等于高度和宽度的乘积（即面积），其中高度由较短的隔板决定，宽度是两个隔板的数组索引之差。
+    
+    请在数组中选择两个隔板，使得组成的容器的容量最大，返回最大容量。
+
+![最大容量问题的示例数据](max_capacity_problem.assets/max_capacity_example.png)
+
+<p align="center"> Fig. 最大容量问题的示例数据 </p>
+
+**第一步：问题分析**
+
+容器由任意两个隔板围成，**因此本题的状态为两个隔板的索引，记为 $[i, j]$** 。
+
+根据定义，容量等于高度乘以宽度，其中高度由短板决定，宽度是两隔板的索引之差。设容量为 $cap[i, j]$ ，可得计算公式：
+
+$$
+cap[i, j] = \min(ht[i], ht[j]) \times (j - i)
+$$
+
+设数组长度为 $n$ ，两个隔板的组合数量（即状态总数）为 $C_n^2 = \frac{n(n - 1)}{2}$ 个。最直接地，**我们可以穷举所有状态**，从而求得最大容量，时间复杂度为 $O(n^2)$ 。
+
+**第二步：贪心策略确定**
+
+当然，这道题还有更高效率的解法。如下图所示，现选取一个状态 $[i, j]$ ，其满足索引 $i < j$ 且高度 $ht[i] < ht[j]$ ，即 $i$ 为短板、 $j$ 为长板。
+
+![初始状态](max_capacity_problem.assets/max_capacity_initial_state.png)
+
+<p align="center"> Fig. 初始状态 </p>
+
+我们发现，**如果将长板 $j$ 向短板 $i$ 靠近，则容量一定变小**。这是因为在移动长板 $j$ 后：
+
+- 宽度 $j-i$ 肯定变小；
+- 高度由短板决定，因此高度只可能不变（ $i$ 仍为短板）或变小（移动后的 $j$ 成为短板）；
+
+![向内移动长板后的状态](max_capacity_problem.assets/max_capacity_moving_long_board.png)
+
+<p align="center"> Fig. 向内移动长板后的状态 </p>
+
+反向思考，**我们只有向内收缩短板 $i$ ，才有可能使容量变大**。因为虽然宽度一定变小，**但高度可能会变大**（移动后的短板 $i$ 变长了）。
+
+![向内移动长板后的状态](max_capacity_problem.assets/max_capacity_moving_short_board.png)
+
+<p align="center"> Fig. 向内移动长板后的状态 </p>
+
+由此便可推出本题的贪心策略：
+
+1. 初始状态下，指针 $i$ , $j$ 分列与数组两端。
+2. 计算当前状态的容量 $cap[i, j]$ ，并更新最大容量。
+3. 比较板 $i$ 和 板 $j$ 的高度，并将短板向内移动一格。
+4. 循环执行第 `2.` , `3.` 步，直至 $i$ 和 $j$ 相遇时结束。
+
+=== "<1>"
+    ![最大容量问题的贪心过程](max_capacity_problem.assets/max_capacity_greedy_step1.png)
+
+=== "<2>"
+    ![max_capacity_greedy_step2](max_capacity_problem.assets/max_capacity_greedy_step2.png)
+
+=== "<3>"
+    ![max_capacity_greedy_step3](max_capacity_problem.assets/max_capacity_greedy_step3.png)
+
+=== "<4>"
+    ![max_capacity_greedy_step4](max_capacity_problem.assets/max_capacity_greedy_step4.png)
+
+=== "<5>"
+    ![max_capacity_greedy_step5](max_capacity_problem.assets/max_capacity_greedy_step5.png)
+
+=== "<6>"
+    ![max_capacity_greedy_step6](max_capacity_problem.assets/max_capacity_greedy_step6.png)
+
+=== "<7>"
+    ![max_capacity_greedy_step7](max_capacity_problem.assets/max_capacity_greedy_step7.png)
+
+=== "<8>"
+    ![max_capacity_greedy_step8](max_capacity_problem.assets/max_capacity_greedy_step8.png)
+
+=== "<9>"
+    ![max_capacity_greedy_step9](max_capacity_problem.assets/max_capacity_greedy_step9.png)
+
+代码实现如下所示。最多循环 $n$ 轮，**因此时间复杂度为 $O(n)$** 。变量 $i$ , $j$ , $res$ 使用常数大小额外空间，**因此空间复杂度为 $O(1)$** 。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="max_capacity.java"
+    /* 最大容量：贪心 */
+    int maxCapacity(int[] ht) {
+        // 初始化 i, j 分列数组两端
+        int i = 0, j = ht.length - 1;
+        // 初始最大容量为 0
+        int res = 0;
+        // 循环贪心选择，直至两板相遇
+        while (i < j) {
+            // 更新最大容量
+            int cap = Math.min(ht[i], ht[j]) * (j - i);
+            res = Math.max(res, cap);
+            // 向内移动短板
+            if (ht[i] < ht[j]) {
+                i++;
+            } else {
+                j--;
+            }
+        }
+        return res;
+    }
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="max_capacity.cpp"
+    /* 最大容量：贪心 */
+    int maxCapacity(vector<int> &ht) {
+        // 初始化 i, j 分列数组两端
+        int i = 0, j = ht.size() - 1;
+        // 初始最大容量为 0
+        int res = 0;
+        // 循环贪心选择，直至两板相遇
+        while (i < j) {
+            // 更新最大容量
+            int cap = min(ht[i], ht[j]) * (j - i);
+            res = max(res, cap);
+            // 向内移动短板
+            if (ht[i] < ht[j]) {
+                i++;
+            } else {
+                j--;
+            }
+        }
+        return res;
+    }
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="max_capacity.py"
+    def max_capacity(ht: list[int]) -> int:
+        """最大容量：贪心"""
+        # 初始化 i, j 分列数组两端
+        i, j = 0, len(ht) - 1
+        # 初始最大容量为 0
+        res = 0
+        # 循环贪心选择，直至两板相遇
+        while i < j:
+            # 更新最大容量
+            cap = min(ht[i], ht[j]) * (j - i)
+            res = max(res, cap)
+            # 向内移动短板
+            if ht[i] < ht[j]:
+                i += 1
+            else:
+                j -= 1
+        return res
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="max_capacity.go"
+    [class]{}-[func]{maxCapacity}
+    ```
+
+=== "JavaScript"
+
+    ```javascript title="max_capacity.js"
+    [class]{}-[func]{maxCapacity}
+    ```
+
+=== "TypeScript"
+
+    ```typescript title="max_capacity.ts"
+    [class]{}-[func]{maxCapacity}
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="max_capacity.c"
+    [class]{}-[func]{maxCapacity}
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="max_capacity.cs"
+    [class]{max_capacity}-[func]{maxCapacity}
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title="max_capacity.swift"
+    [class]{}-[func]{maxCapacity}
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title="max_capacity.zig"
+    [class]{}-[func]{maxCapacity}
+    ```
+
+=== "Dart"
+
+    ```dart title="max_capacity.dart"
+    [class]{}-[func]{maxCapacity}
+    ```
+
+**第三步：正确性证明**
+
+之所以贪心比穷举更快，是因为每轮的贪心选择都会“跳过”一些状态。
+
+比如在状态 $cap[i, j]$ 下，$i$ 为短板、$j$ 为长板。若贪心地将短板 $i$ 向内移动一格，会导致以下状态被“跳过”，**意味着之后无法验证这些状态的容量大小**。
+
+$$
+cap[i, i+1], cap[i, i+2], \cdots, cap[i, j-2], cap[i, j-1]
+$$
+
+![移动短板导致被跳过的状态](max_capacity_problem.assets/max_capacity_skipped_states.png)
+
+<p align="center"> Fig. 移动短板导致被跳过的状态 </p>
+
+观察发现，**这些被跳过的状态实际上就是将长板 $j$ 向内移动的所有状态**。而在第二步中，我们已经证明内移长板一定会导致容量变小，也就是说这些被跳过的状态的容量一定更小。
+
+也就是说，被跳过的状态都不可能是最优解，**跳过它们不会导致错过最优解**。
+
+以上的分析说明，**移动短板的操作是“安全”的**，贪心策略是有效的。

chapter_tree/array_representation_of_tree.md

@@ -415,7 +415,93 @@ comments: true
 === "C#"
 
     ```csharp title="array_binary_tree.cs"
-    [class]{ArrayBinaryTree}-[func]{}
+    /* 数组表示下的二叉树类 */
+    class ArrayBinaryTree {
+        private List<int?> tree;
+
+        /* 构造方法 */
+        public ArrayBinaryTree(List<int?> arr) {
+            tree = new List<int?>(arr);
+        }
+
+        /* 节点数量 */
+        public int size() {
+            return tree.Count;
+        }
+
+        /* 获取索引为 i 节点的值 */
+        public int? val(int i) {
+            // 若索引越界，则返回 null ，代表空位
+            if (i < 0 || i >= size())
+                return null;
+            return tree[i];
+        }
+
+        /* 获取索引为 i 节点的左子节点的索引 */
+        public int left(int i) {
+            return 2 * i + 1;
+        }
+
+        /* 获取索引为 i 节点的右子节点的索引 */
+        public int right(int i) {
+            return 2 * i + 2;
+        }
+
+        /* 获取索引为 i 节点的父节点的索引 */
+        public int parent(int i) {
+            return (i - 1) / 2;
+        }
+
+        /* 层序遍历 */
+        public List<int> levelOrder() {
+            List<int> res = new List<int>();
+            // 直接遍历数组
+            for (int i = 0; i < size(); i++) {
+                if (val(i).HasValue)
+                    res.Add(val(i).Value);
+            }
+            return res;
+        }
+
+        /* 深度优先遍历 */
+        private void dfs(int i, string order, List<int> res) {
+            // 若为空位，则返回
+            if (!val(i).HasValue)
+                return;
+            // 前序遍历
+            if (order == "pre")
+                res.Add(val(i).Value);
+            dfs(left(i), order, res);
+            // 中序遍历
+            if (order == "in")
+                res.Add(val(i).Value);
+            dfs(right(i), order, res);
+            // 后序遍历
+            if (order == "post")
+                res.Add(val(i).Value);
+        }
+
+        /* 前序遍历 */
+        public List<int> preOrder() {
+            List<int> res = new List<int>();
+            dfs(0, "pre", res);
+            return res;
+        }
+
+        /* 中序遍历 */
+        public List<int> inOrder() {
+            List<int> res = new List<int>();
+            dfs(0, "in", res);
+            return res;
+        }
+
+        /* 后序遍历 */
+        public List<int> postOrder() {
+            List<int> res = new List<int>();
+            dfs(0, "post", res);
+            return res;
+        }
+    }
     ```
 
 === "Swift"