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krahets 2023-07-21 15:14:40 +08:00
parent f4b32349c0
commit 2338b35039
9 changed files with 503 additions and 107 deletions
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2
chapter_computational_complexity/space_complexity.md
View File

@ -375,7 +375,7 @@ comments: true
int a = 0; // O(1)
int b[10000]; // O(1)
if (n > 10)
vector<int> nums(n); // O(n)
int nums[n] = {0}; // O(n)
}
```

29
chapter_divide_and_conquer/binary_search_recur.md
View File

@ -128,9 +128,34 @@ status: new
=== "Go"
```go title="binary_search_recur.go"
[class]{}-[func]{dfs}
/* 二分查找：问题 f(i, j) */
func dfs(nums []int, target, i, j int) int {
// 如果区间为空，代表没有目标元素，则返回 -1
if i > j {
return -1
}
// 计算索引中点
m := i + ((j - i) >> 1)
//判断中点与目标元素大小
if nums[m] < target {
// 小于则递归右半数组
// 递归子问题 f(m+1, j)
return dfs(nums, target, m+1, j)
} else if nums[m] > target {
// 小于则递归左半数组
// 递归子问题 f(i, m-1)
return dfs(nums, target, i, m-1)
} else {
// 找到目标元素，返回其索引
return m
}
}
[class]{}-[func]{binarySearch}
/* 二分查找 */
func binarySearch(nums []int, target int) int {
n := len(nums)
return dfs(nums, target, 0, n-1)
}
```
=== "JavaScript"

157
chapter_graph/graph_operations.md
View File

@ -575,32 +575,38 @@ comments: true
```c title="graph_adjacency_matrix.c"
/* 基于邻接矩阵实现的无向图类结构 */
struct graphAdjMat {
int *vertices;
unsigned int **adjMat;
unsigned int size;
unsigned int capacity;
int *vertices; // 顶点列表
unsigned int **adjMat; // 邻接矩阵，元素代表“边”，索引代表“顶点索引”
unsigned int size; // 顶点数量
unsigned int capacity; // 图容量
};
typedef struct graphAdjMat graphAdjMat;
/* 添加边 */
// 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
void addEdge(graphAdjMat *t, int i, int j) {
// 越界检查
if (i < 0 || j < 0 || i >= t->size || j >= t->size || i == j) {
printf("Out of range in %s:%d\n", __FILE__, __LINE__);
exit(1);
}
// 添加边
// 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
t->adjMat[i][j] = 1;
t->adjMat[j][i] = 1;
}
/* 删除边 */
// 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
void removeEdge(graphAdjMat *t, int i, int j) {
// 越界检查
if (i < 0 || j < 0 || i >= t->size || j >= t->size || i == j) {
printf("Out of range in %s:%d\n", __FILE__, __LINE__);
exit(1);
}
// 删除边
// 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
t->adjMat[i][j] = 0;
t->adjMat[j][i] = 0;
}
@ -609,13 +615,13 @@ comments: true
void addVertex(graphAdjMat *t, int val) {
// 如果实际使用不大于预设空间，则直接初始化新空间
if (t->size < t->capacity) {
t->vertices[t->size] = val;
t->vertices[t->size] = val; // 初始化新顶点值
// 邻接矩新列阵置0
for (int i = 0; i < t->size; i++) {
t->adjMat[i][t->size] = 0;
t->adjMat[i][t->size] = 0; // 邻接矩新列阵置0
}
memset(t->adjMat[t->size], 0, sizeof(unsigned int) * (t->size + 1));
memset(t->adjMat[t->size], 0, sizeof(unsigned int) * (t->size + 1)); // 将新增行置 0
t->size++;
return;
}
@ -637,23 +643,21 @@ comments: true
tempMat[k] = tempMatLine + k * (t->size * 2);
}
// 原数据复制到新数组
for (int i = 0; i < t->size; i++) {
memcpy(tempMat[i], t->adjMat[i], sizeof(unsigned int) * t->size);
memcpy(tempMat[i], t->adjMat[i], sizeof(unsigned int) * t->size); // 原数据复制到新数组
}
// 新列置0
for (int i = 0; i < t->size; i++) {
tempMat[i][t->size] = 0;
tempMat[i][t->size] = 0; // 将新增列置 0
}
memset(tempMat[t->size], 0, sizeof(unsigned int) * (t->size + 1));
memset(tempMat[t->size], 0, sizeof(unsigned int) * (t->size + 1)); // 将新增行置 0
// 释放原数组
free(t->adjMat[0]);
free(t->adjMat);
// 扩容后，指向新地址
t->adjMat = tempMat;
t->adjMat = tempMat; // 指向新的邻接矩阵地址
t->capacity = t->size * 2;
t->size++;
}
@ -665,28 +669,21 @@ comments: true
printf("Out of range in %s:%d\n", __FILE__, __LINE__);
exit(1);
}
// 清除删除的顶点，并将其后所有顶点前移
for (int i = index; i < t->size - 1; i++) {
t->vertices[i] = t->vertices[i + 1];
t->vertices[i] = t->vertices[i + 1]; // 清除删除的顶点，并将其后所有顶点前移
}
// 将被前移的最后一个顶点置0
t->vertices[t->size - 1] = 0;
t->vertices[t->size - 1] = 0; // 将被前移的最后一个顶点置 0
// 清除邻接矩阵中删除的列
for (int i = 0; i < t->size - 1; i++) {
if (i < index) {
// 被删除列后的所有列前移
for (int j = index; j < t->size - 1; j++) {
t->adjMat[i][j] = t->adjMat[i][j + 1];
t->adjMat[i][j] = t->adjMat[i][j + 1]; // 被删除列后的所有列前移
}
} else {
// 被删除行的下方所有行上移
memcpy(t->adjMat[i], t->adjMat[i + 1], sizeof(unsigned int) * t->size);
// 被删除列后的所有列前移
} else {
memcpy(t->adjMat[i], t->adjMat[i + 1], sizeof(unsigned int) * t->size); // 被删除行的下方所有行上移
for (int j = index; j < t->size; j++) {
t->adjMat[i][j] = t->adjMat[i][j + 1];
t->adjMat[i][j] = t->adjMat[i][j + 1]; // 被删除列后的所有列前移
}
}
}
@ -724,28 +721,27 @@ comments: true
}
/* 构造函数 */
graphAdjMat *newGraphic(unsigned int numberVertices, int *vertices, unsigned int **adjMat) {
// 函数指针
graphAdjMat *newGraph = (graphAdjMat *)malloc(sizeof(graphAdjMat));
graphAdjMat *newGraphAjdMat(unsigned int numberVertices, int *vertices, unsigned int **adjMat) {
// 申请内存
newGraph->vertices = (int *)malloc(sizeof(int) * numberVertices * 2);
newGraph->adjMat = (unsigned int **)malloc(sizeof(unsigned int *) * numberVertices * 2);
unsigned int *temp = (unsigned int *)malloc(sizeof(unsigned int) * numberVertices * 2 * numberVertices * 2);
newGraph->size = numberVertices;
newGraph->capacity = numberVertices * 2;
graphAdjMat *newGraph = (graphAdjMat *)malloc(sizeof(graphAdjMat)); // 为图分配内存
newGraph->vertices = (int *)malloc(sizeof(int) * numberVertices * 2); // 为顶点列表分配内存
newGraph->adjMat = (unsigned int **)malloc(sizeof(unsigned int *) * numberVertices * 2); // 为邻接矩阵分配二维内存
unsigned int *temp = (unsigned int *)malloc(sizeof(unsigned int) * numberVertices * 2 * numberVertices * 2); // 为邻接矩阵分配一维内存
newGraph->size = numberVertices; // 初始化顶点数量
newGraph->capacity = numberVertices * 2; // 初始化图容量
// 配置二维数组
for (int i = 0; i < numberVertices * 2; i++) {
newGraph->adjMat[i] = temp + i * numberVertices * 2;
newGraph->adjMat[i] = temp + i * numberVertices * 2; // 将二维指针指向一维数组
}
// 赋值
memcpy(newGraph->vertices, vertices, sizeof(int) * numberVertices);
for (int i = 0; i < numberVertices; i++) {
memcpy(newGraph->adjMat[i], adjMat[i], sizeof(unsigned int) * numberVertices);
memcpy(newGraph->adjMat[i], adjMat[i], sizeof(unsigned int) * numberVertices); // 将传入的邻接矩阵赋值给结构体内邻接矩阵
}
// 返回结构体指针
return newGraph;
}
```
@ -1552,12 +1548,9 @@ comments: true
```c title="graph_adjacency_list.c"
/* 基于邻接链表实现的无向图类结构 */
struct graphAdjList {
// 顶点列表
Vertex **verticesList;
// 顶点数量
unsigned int size;
// 当前容量
unsigned int capacity;
Vertex **verticesList; // 邻接表
unsigned int size; // 顶点数量
unsigned int capacity; // 顶点容量
};
typedef struct graphAdjList graphAdjList;
@ -1569,13 +1562,13 @@ comments: true
printf("Out of range in %s:%d\n", __FILE__, __LINE__);
return;
}
// 查找待连接的节点
Vertex *v1 = t->verticesList[i];
Vertex *v2 = t->verticesList[j];
// 查找欲添加边的顶点 vet1 - vet2
Vertex *vet1 = t->verticesList[i];
Vertex *vet2 = t->verticesList[j];
// 连接节点
pushBack(v1->linked, v2);
pushBack(v2->linked, v1);
// 连接顶点 vet1 - vet2
pushBack(vet1->linked, vet2);
pushBack(vet2->linked, vet1);
}
/* 删除边 */
@ -1586,13 +1579,13 @@ comments: true
return;
}
// 查找待删除边的相关节点
Vertex *v1 = t->verticesList[i];
Vertex *v2 = t->verticesList[j];
// 查找欲删除边的顶点 vet1 - vet2
Vertex *vet1 = t->verticesList[i];
Vertex *vet2 = t->verticesList[j];
// 移除待删除边
removeLink(v1->linked, v2);
removeLink(v2->linked, v1);
// 移除待删除边 vet1 - vet2
removeLink(vet1->linked, vet2);
removeLink(vet2->linked, vet1);
}
/* 添加顶点 */
@ -1601,16 +1594,15 @@ comments: true
if (t->size >= t->capacity) {
Vertex **tempList = (Vertex **)malloc(sizeof(Vertex *) * 2 * t->capacity);
memcpy(tempList, t->verticesList, sizeof(Vertex *) * t->size);
free(t->verticesList);
// 指向新顶点表
t->verticesList = tempList;
t->capacity = t->capacity * 2;
free(t->verticesList); // 释放原邻接表内存
t->verticesList = tempList; // 指向新邻接表
t->capacity = t->capacity * 2; // 容量扩大至2倍
}
// 申请新顶点内存并将新顶点地址存入顶点列表
Vertex *newV = newVertex(val);
newV->pos = t->size;
newV->linked = newLinklist(newV);
t->verticesList[t->size] = newV;
Vertex *newV = newVertex(val); // 建立新顶点
newV->pos = t->size; // 为新顶点标记下标
newV->linked = newLinklist(newV); // 为新顶点建立链表
t->verticesList[t->size] = newV; // 将新顶点加入邻接表
t->size++;
}
@ -1622,31 +1614,30 @@ comments: true
exit(1);
}
// 查找待删节点
Vertex *v = t->verticesList[index];
// 若不存在该节点，则返回
if (v == 0) {
Vertex *vet = t->verticesList[index]; // 查找待删节点
if (vet == 0) { // 若不存在该节点，则返回
printf("index is:%d\n", index);
printf("Out of range in %s:%d\n", __FILE__, __LINE__);
return;
}
// 遍历待删除节点链表，将所有与待删除结点有关的边删除
Node *temp = v->linked->head->next;
// 遍历待删除顶点的链表，将所有与待删除结点有关的边删除
Node *temp = vet->linked->head->next;
while (temp != 0) {
removeLink(temp->val->linked, v);
temp = temp->next;
removeLink(temp->val->linked, vet); // 删除与该顶点有关的边
temp = temp->next;
}
// 定点列表前移
// 将顶点前移
for (int i = index; i < t->size - 1; i++) {
t->verticesList[i] = t->verticesList[i + 1];
t->verticesList[i] = t->verticesList[i + 1]; // 顶点前移
t->verticesList[i]->pos--; // 所有前移的顶点索引值减1
}
t->verticesList[t->size - 1] = 0;
t->verticesList[t->size - 1] = 0; // 将被删除顶点的位置置 0
t->size--;
//释放被删除顶点的内存
freeVertex(v);
freeVertex(vet);
}
/* 打印顶点与邻接矩阵 */
@ -1668,16 +1659,16 @@ comments: true
}
/* 构造函数 */
graphAdjList *newGraphic(unsigned int verticesNumber) {
graphAdjList *newGraphAdjList(unsigned int verticesCapacity) {
// 申请内存
graphAdjList *newGraph = (graphAdjList *)malloc(sizeof(graphAdjList));
// 建立顶点表并分配内存
newGraph->verticesList = (Vertex **)malloc(sizeof(Vertex *) * verticesNumber);
memset(newGraph->verticesList, 0, sizeof(Vertex *) * verticesNumber);
// 初始化大小和容量
newGraph->size = 0;
newGraph->capacity = verticesNumber;
return newGraph;
newGraph->verticesList = (Vertex **)malloc(sizeof(Vertex *) * verticesCapacity); // 为顶点列表分配内存
memset(newGraph->verticesList, 0, sizeof(Vertex *) * verticesCapacity); // 顶点列表置 0
newGraph->size = 0; // 初始化顶点数量
newGraph->capacity = verticesCapacity; // 初始化顶点容量
// 返回图指针
return newGraph;
}
```

74
chapter_graph/graph_traversal.md
View File

@ -219,7 +219,44 @@ BFS 通常借助「队列」来实现。队列具有“先入先出”的性质
=== "C"
```c title="graph_bfs.c"
[class]{}-[func]{graphBFS}
/* 广度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
Vertex **graphBFS(graphAdjList *t, Vertex *startVet) {
// 顶点遍历序列
Vertex **res = (Vertex **)malloc(sizeof(Vertex *) * t->size);
memset(res, 0, sizeof(Vertex *) * t->size);
// 队列用于实现 BFS
queue *que = newQueue(t->size);
// 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
hashTable *visited = newHash(t->size);
int resIndex = 0;
queuePush(que, startVet); // 将第一个元素入队
hashMark(visited, startVet->pos); // 标记第一个入队的顶点
// 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
while (que->head < que->tail) {
// 遍历该顶点的边链表，将所有与该顶点有连接的，并且未被标记的顶点入队
Node *n = queueTop(que)->linked->head->next;
while (n != 0) {
// 查询哈希表，若该索引的顶点已入队，则跳过，否则入队并标记
if (hashQuery(visited, n->val->pos) == 1) {
n = n->next;
continue; // 跳过已被访问过的顶点
}
queuePush(que, n->val); // 只入队未访问的顶点
hashMark(visited, n->val->pos); // 标记该顶点已被访问
}
// 队首元素存入数组
res[resIndex] = queueTop(que); // 队首顶点加入顶点遍历序列
resIndex++;
queuePop(que); // 队首元素出队
}
// 释放内存
freeQueue(que);
freeHash(visited);
resIndex = 0;
// 返回顶点遍历序列
return res;
}
```
=== "C#"
@ -557,9 +594,40 @@ BFS 通常借助「队列」来实现。队列具有“先入先出”的性质
=== "C"
```c title="graph_dfs.c"
[class]{}-[func]{dfs}
/* 深度优先遍历 DFS 辅助函数 */
int resIndex = 0;
void dfs(graphAdjList *graph, hashTable *visited, Vertex *vet, Vertex **res) {
if (hashQuery(visited, vet->pos) == 1) {
return; // 跳过已被访问过的顶点
}
hashMark(visited, vet->pos); // 标记顶点并将顶点存入数组
res[resIndex] = vet; // 将顶点存入数组
resIndex++;
// 遍历该顶点链表
Node *n = vet->linked->head->next;
while (n != 0) {
// 递归访问邻接顶点
dfs(graph, visited, n->val, res);
n = n->next;
}
return;
}
[class]{}-[func]{graphDFS}
/* 深度优先遍历 DFS */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
Vertex **graphDFS(graphAdjList *graph, Vertex *startVet) {
// 顶点遍历序列
Vertex **res = (Vertex **)malloc(sizeof(Vertex *) * graph->size);
memset(res, 0, sizeof(Vertex *) * graph->size);
// 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
hashTable *visited = newHash(graph->size);
dfs(graph, visited, startVet, res);
// 释放哈希表内存并将数组索引归零
freeHash(visited);
resIndex = 0;
// 返回遍历数组
return res;
}
```
=== "C#"

26
chapter_greedy/fractional_knapsack_problem.md
View File

@ -40,17 +40,7 @@ status: new
<p align="center"> Fig. 分数背包的贪心策略 </p>
**第三步：正确性证明**
采用反证法。假设物品 $x$ 是单位价值最高的物品，使用某算法求得最大价值为 $res$ ，但该解中不包含物品 $x$ 。
现在从背包中拿出单位重量的任意物品，并替换为单位重量的物品 $x$ 。由于物品 $x$ 的单位价值最高，因此替换后的总价值一定大于 $res$ 。**这与 $res$ 是最优解矛盾，说明最优解中必须包含物品 $x$ 。**
对于该解中的其他物品，我们也可以构建出上述矛盾。总而言之，**单位价值更大的物品总是更优选择**，这说明贪心策略是有效的。
**实现代码**
我们构建了一个物品类 `Item` ，以便将物品按照单位价值进行排序。在循环贪心选择中，分为放入整个物品或放入部分物品两种情况。当背包已满时，则跳出循环并返回解。
我们构建了一个物品类 `Item` ，以便将物品按照单位价值进行排序。循环进行贪心选择，当背包已满时跳出并返回解。
=== "Java"
@ -228,10 +218,18 @@ status: new
[class]{}-[func]{fractionalKnapsack}
```
如下图所示，如果将一个 2D 图表的横轴和纵轴分别看作物品重量和物品单位价值，则分数背包问题可被转化为“求在有限横轴区间下的最大围成面积”。这个类比可以帮助我们从几何角度清晰地看到贪心策略的有效性。
最差情况下，需要遍历整个物品列表，**因此时间复杂度为 $O(n)$** ，其中 $n$ 为物品数量。由于初始化了一个 `Item` 对象列表，**因此空间复杂度为 $O(n)$** 。
**第三步：正确性证明**
采用反证法。假设物品 $x$ 是单位价值最高的物品，使用某算法求得最大价值为 $res$ ，但该解中不包含物品 $x$ 。
现在从背包中拿出单位重量的任意物品，并替换为单位重量的物品 $x$ 。由于物品 $x$ 的单位价值最高，因此替换后的总价值一定大于 $res$ 。**这与 $res$ 是最优解矛盾，说明最优解中必须包含物品 $x$ 。**
对于该解中的其他物品，我们也可以构建出上述矛盾。总而言之，**单位价值更大的物品总是更优选择**，这说明贪心策略是有效的。
如下图所示，如果将物品重量和物品单位价值分别看作一个 2D 图表的横轴和纵轴，则分数背包问题可被转化为“求在有限横轴区间下的最大围成面积”。这个类比可以帮助我们从几何角度清晰地看到贪心策略的有效性。
![分数背包问题的几何表示](fractional_knapsack_problem.assets/fractional_knapsack_area_chart.png)
<p align="center"> Fig. 分数背包问题的几何表示 </p>
最差情况下，需要遍历整个物品列表，**因此时间复杂度为 $O(n)$** ，其中 $n$ 为物品数量。由于初始化了一个 `Item` 对象列表，**因此空间复杂度为 $O(n)$** 。

6
chapter_greedy/greedy_algorithm.md
View File

@ -16,7 +16,7 @@ status: new
!!! question
给定 $n$ 种硬币，第 $i$ 个硬币的面值为 $coins[i - 1]$ ，目标金额为 $amt$ ，**每种硬币可以重复选取**，问能够凑出目标金额的最少硬币个数。如果无法凑出目标金额则返回 $-1$ 。
给定 $n$ 种硬币，第 $i$ 个硬币的面值为 $coins[i - 1]$ ，目标金额为 $amt$ ，每种硬币可以重复选取，问能够凑出目标金额的最少硬币个数。如果无法凑出目标金额则返回 $-1$ 。
贪心算法会迭代地做出一个又一个的贪心选择，每轮都将问题转化成一个规模更小的子问题，直到问题被解决。
@ -190,8 +190,8 @@ status: new
确定贪心策略是求解问题的核心步骤，但实施起来并没有那么容易。主要有两方面原因：
1. **不同问题的贪心策略的差异较大**。对于许多问题来说，贪心策略都比较浅显，我们通过一些大概的思考与尝试就能得出。而对于一些复杂问题，贪心策略可能非常隐蔽，这种情况就非常考验个人的解题经验与算法能力了。
2. **某些贪心策略具有较强的迷惑性**。当我们满怀信心设计好贪心策略，写出解题代码并提交运行，很可能发现部分测试样例无法通过。这是因为设计的贪心策略只是“部分正确”的，上文介绍的零钱兑换就是个很好的例子。
- **不同问题的贪心策略的差异较大**。对于许多问题来说，贪心策略都比较浅显，我们通过一些大概的思考与尝试就能得出。而对于一些复杂问题，贪心策略可能非常隐蔽，这种情况就非常考验个人的解题经验与算法能力了。
- **某些贪心策略具有较强的迷惑性**。当我们满怀信心设计好贪心策略，写出解题代码并提交运行，很可能发现部分测试样例无法通过。这是因为设计的贪心策略只是“部分正确”的，上文介绍的零钱兑换就是个很好的例子。
为了保证正确性，我们应该对贪心策略进行严谨的数学证明，**通常需要用到反证法或数学归纳法**。

1
chapter_greedy/index.md
View File

@ -16,3 +16,4 @@ status: new
- [15.1 &nbsp; 贪心算法](https://www.hello-algo.com/chapter_greedy/greedy_algorithm/)
- [15.2 &nbsp; 分数背包问题](https://www.hello-algo.com/chapter_greedy/fractional_knapsack_problem/)
- [15.3 &nbsp; 最大容量问题](https://www.hello-algo.com/chapter_greedy/max_capacity_problem/)

227
chapter_greedy/max_capacity_problem.md Normal file
View File

@ -0,0 +1,227 @@
---
comments: true
status: new
---
# 15.3. &nbsp; 最大容量问题
!!! question
输入一个数组 $ht$ ，数组中的每个元素代表一个垂直隔板的高度。数组中的任意两个隔板，以及它们之间的空间可以组成一个容器。容器的容量等于高度和宽度的乘积（即面积），其中高度由较短的隔板决定，宽度是两个隔板的数组索引之差。
请在数组中选择两个隔板，使得组成的容器的容量最大，返回最大容量。
![最大容量问题的示例数据](max_capacity_problem.assets/max_capacity_example.png)
<p align="center"> Fig. 最大容量问题的示例数据 </p>
**第一步：问题分析**
容器由任意两个隔板围成，**因此本题的状态为两个隔板的索引，记为 $[i, j]$** 。
根据定义，容量等于高度乘以宽度，其中高度由短板决定，宽度是两隔板的索引之差。设容量为 $cap[i, j]$ ，可得计算公式：
$$
cap[i, j] = \min(ht[i], ht[j]) \times (j - i)
$$
设数组长度为 $n$ ，两个隔板的组合数量（即状态总数）为 $C_n^2 = \frac{n(n - 1)}{2}$ 个。最直接地，**我们可以穷举所有状态**，从而求得最大容量，时间复杂度为 $O(n^2)$ 。
**第二步：贪心策略确定**
当然，这道题还有更高效率的解法。如下图所示，现选取一个状态 $[i, j]$ ，其满足索引 $i < j$ 且高度 $ht[i] < ht[j]$ ，即 $i$ 为短板、 $j$ 为长板。
![初始状态](max_capacity_problem.assets/max_capacity_initial_state.png)
<p align="center"> Fig. 初始状态 </p>
我们发现，**如果将长板 $j$ 向短板 $i$ 靠近，则容量一定变小**。这是因为在移动长板 $j$ 后：
- 宽度 $j-i$ 肯定变小；
- 高度由短板决定，因此高度只可能不变（ $i$ 仍为短板）或变小（移动后的 $j$ 成为短板）；
![向内移动长板后的状态](max_capacity_problem.assets/max_capacity_moving_long_board.png)
<p align="center"> Fig. 向内移动长板后的状态 </p>
反向思考，**我们只有向内收缩短板 $i$ ，才有可能使容量变大**。因为虽然宽度一定变小，**但高度可能会变大**（移动后的短板 $i$ 变长了）。
![向内移动长板后的状态](max_capacity_problem.assets/max_capacity_moving_short_board.png)
<p align="center"> Fig. 向内移动长板后的状态 </p>
由此便可推出本题的贪心策略：
1. 初始状态下，指针 $i$ , $j$ 分列与数组两端。
2. 计算当前状态的容量 $cap[i, j]$ ，并更新最大容量。
3. 比较板 $i$ 和 板 $j$ 的高度，并将短板向内移动一格。
4. 循环执行第 `2.` , `3.` 步，直至 $i$ 和 $j$ 相遇时结束。
=== "<1>"
![最大容量问题的贪心过程](max_capacity_problem.assets/max_capacity_greedy_step1.png)
=== "<2>"
![max_capacity_greedy_step2](max_capacity_problem.assets/max_capacity_greedy_step2.png)
=== "<3>"
![max_capacity_greedy_step3](max_capacity_problem.assets/max_capacity_greedy_step3.png)
=== "<4>"
![max_capacity_greedy_step4](max_capacity_problem.assets/max_capacity_greedy_step4.png)
=== "<5>"
![max_capacity_greedy_step5](max_capacity_problem.assets/max_capacity_greedy_step5.png)
=== "<6>"
![max_capacity_greedy_step6](max_capacity_problem.assets/max_capacity_greedy_step6.png)
=== "<7>"
![max_capacity_greedy_step7](max_capacity_problem.assets/max_capacity_greedy_step7.png)
=== "<8>"
![max_capacity_greedy_step8](max_capacity_problem.assets/max_capacity_greedy_step8.png)
=== "<9>"
![max_capacity_greedy_step9](max_capacity_problem.assets/max_capacity_greedy_step9.png)
代码实现如下所示。最多循环 $n$ 轮，**因此时间复杂度为 $O(n)$** 。变量 $i$ , $j$ , $res$ 使用常数大小额外空间，**因此空间复杂度为 $O(1)$** 。
=== "Java"
```java title="max_capacity.java"
/* 最大容量：贪心 */
int maxCapacity(int[] ht) {
// 初始化 i, j 分列数组两端
int i = 0, j = ht.length - 1;
// 初始最大容量为 0
int res = 0;
// 循环贪心选择，直至两板相遇
while (i < j) {
// 更新最大容量
int cap = Math.min(ht[i], ht[j]) * (j - i);
res = Math.max(res, cap);
// 向内移动短板
if (ht[i] < ht[j]) {
i++;
} else {
j--;
}
}
return res;
}
```
=== "C++"
```cpp title="max_capacity.cpp"
/* 最大容量：贪心 */
int maxCapacity(vector<int> &ht) {
// 初始化 i, j 分列数组两端
int i = 0, j = ht.size() - 1;
// 初始最大容量为 0
int res = 0;
// 循环贪心选择，直至两板相遇
while (i < j) {
// 更新最大容量
int cap = min(ht[i], ht[j]) * (j - i);
res = max(res, cap);
// 向内移动短板
if (ht[i] < ht[j]) {
i++;
} else {
j--;
}
}
return res;
}
```
=== "Python"
```python title="max_capacity.py"
def max_capacity(ht: list[int]) -> int:
"""最大容量：贪心"""
# 初始化 i, j 分列数组两端
i, j = 0, len(ht) - 1
# 初始最大容量为 0
res = 0
# 循环贪心选择，直至两板相遇
while i < j:
# 更新最大容量
cap = min(ht[i], ht[j]) * (j - i)
res = max(res, cap)
# 向内移动短板
if ht[i] < ht[j]:
i += 1
else:
j -= 1
return res
```
=== "Go"
```go title="max_capacity.go"
[class]{}-[func]{maxCapacity}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="max_capacity.js"
[class]{}-[func]{maxCapacity}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="max_capacity.ts"
[class]{}-[func]{maxCapacity}
```
=== "C"
```c title="max_capacity.c"
[class]{}-[func]{maxCapacity}
```
=== "C#"
```csharp title="max_capacity.cs"
[class]{max_capacity}-[func]{maxCapacity}
```
=== "Swift"
```swift title="max_capacity.swift"
[class]{}-[func]{maxCapacity}
```
=== "Zig"
```zig title="max_capacity.zig"
[class]{}-[func]{maxCapacity}
```
=== "Dart"
```dart title="max_capacity.dart"
[class]{}-[func]{maxCapacity}
```
**第三步：正确性证明**
之所以贪心比穷举更快，是因为每轮的贪心选择都会“跳过”一些状态。
比如在状态 $cap[i, j]$ 下，$i$ 为短板、$j$ 为长板。若贪心地将短板 $i$ 向内移动一格，会导致以下状态被“跳过”，**意味着之后无法验证这些状态的容量大小**。
$$
cap[i, i+1], cap[i, i+2], \cdots, cap[i, j-2], cap[i, j-1]
$$
![移动短板导致被跳过的状态](max_capacity_problem.assets/max_capacity_skipped_states.png)
<p align="center"> Fig. 移动短板导致被跳过的状态 </p>
观察发现，**这些被跳过的状态实际上就是将长板 $j$ 向内移动的所有状态**。而在第二步中，我们已经证明内移长板一定会导致容量变小，也就是说这些被跳过的状态的容量一定更小。
也就是说，被跳过的状态都不可能是最优解，**跳过它们不会导致错过最优解**。
以上的分析说明，**移动短板的操作是“安全”的**，贪心策略是有效的。

88
chapter_tree/array_representation_of_tree.md
View File

@ -415,7 +415,93 @@ comments: true
=== "C#"
```csharp title="array_binary_tree.cs"
[class]{ArrayBinaryTree}-[func]{}
/* 数组表示下的二叉树类 */
class ArrayBinaryTree {
private List<int?> tree;
/* 构造方法 */
public ArrayBinaryTree(List<int?> arr) {
tree = new List<int?>(arr);
}
/* 节点数量 */
public int size() {
return tree.Count;
}
/* 获取索引为 i 节点的值 */
public int? val(int i) {
// 若索引越界，则返回 null ，代表空位
if (i < 0 || i >= size())
return null;
return tree[i];
}
/* 获取索引为 i 节点的左子节点的索引 */
public int left(int i) {
return 2 * i + 1;
}
/* 获取索引为 i 节点的右子节点的索引 */
public int right(int i) {
return 2 * i + 2;
}
/* 获取索引为 i 节点的父节点的索引 */
public int parent(int i) {
return (i - 1) / 2;
}
/* 层序遍历 */
public List<int> levelOrder() {
List<int> res = new List<int>();
// 直接遍历数组
for (int i = 0; i < size(); i++) {
if (val(i).HasValue)
res.Add(val(i).Value);
}
return res;
}
/* 深度优先遍历 */
private void dfs(int i, string order, List<int> res) {
// 若为空位，则返回
if (!val(i).HasValue)
return;
// 前序遍历
if (order == "pre")
res.Add(val(i).Value);
dfs(left(i), order, res);
// 中序遍历
if (order == "in")
res.Add(val(i).Value);
dfs(right(i), order, res);
// 后序遍历
if (order == "post")
res.Add(val(i).Value);
}
/* 前序遍历 */
public List<int> preOrder() {
List<int> res = new List<int>();
dfs(0, "pre", res);
return res;
}
/* 中序遍历 */
public List<int> inOrder() {
List<int> res = new List<int>();
dfs(0, "in", res);
return res;
}
/* 后序遍历 */
public List<int> postOrder() {
List<int> res = new List<int>();
dfs(0, "post", res);
return res;
}
}
```
=== "Swift"