From 190c4275cdff01cd2e28b18fc407cdc3b7dc41f2 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: krahets <krahets@163.com>
Date: Fri, 26 May 2023 20:37:48 +0800
Subject: [PATCH] build

---
 chapter_data_structure/number_encoding.md |   6 +-
 chapter_sorting/heap_sort.md              |  13 +-
 chapter_tree/binary_search_tree.md        | 142 +++++++++++++++-------
 3 files changed, 109 insertions(+), 52 deletions(-)

diff --git a/chapter_data_structure/number_encoding.md b/chapter_data_structure/number_encoding.md
index 40e0070da..cc2ea2396 100644
--- a/chapter_data_structure/number_encoding.md
+++ b/chapter_data_structure/number_encoding.md
@@ -49,8 +49,10 @@ $$
 另一方面，**数字零的原码有 $+0$ 和 $-0$ 两种表示方式**。这意味着数字零对应着两个不同的二进制编码，而这可能会带来歧义问题。例如，在条件判断中，如果没有区分正零和负零，可能会导致错误的判断结果。如果我们想要处理正零和负零歧义，则需要引入额外的判断操作，其可能会降低计算机的运算效率。
 
 $$
-+0 = 0000 \space 0000 \newline
--0 = 1000 \space 0000
+\begin{aligned}
++0 & = 0000 \space 0000 \newline
+-0 & = 1000 \space 0000
+\end{aligned}
 $$
 
 与原码一样，反码也存在正负零歧义问题。为此，计算机进一步引入了「补码」。那么，补码有什么作用呢？我们先来分析一下负零的补码的计算过程：
diff --git a/chapter_sorting/heap_sort.md b/chapter_sorting/heap_sort.md
index ef0ba885e..e67bd4361 100644
--- a/chapter_sorting/heap_sort.md
+++ b/chapter_sorting/heap_sort.md
@@ -11,10 +11,13 @@ comments: true
 「堆排序 Heap Sort」是一种基于堆数据结构实现的高效排序算法。我们可以利用已经学过的“建堆操作”和“元素出堆操作”实现堆排序：
 
 1. 输入数组并建立小顶堆，此时最小元素位于堆顶。
-2. 初始化一个数组 `res` ，用于存储排序结果。
-3. 循环执行 $n$ 轮出堆操作，并依次将出堆元素记录至 `res` ，即可得到从小到大排序的序列。
+2. 不断执行出堆操作，依次记录出堆元素，即可得到从小到大排序的序列。
 
-该方法虽然可行，但需要借助一个额外数组，比较浪费空间。在实际中，我们通常使用一种更加优雅的实现方式。设数组的长度为 $n$ ，堆排序的流程如下：
+以上方法虽然可行，但需要借助一个额外数组来保存弹出的元素，比较浪费空间。在实际中，我们通常使用一种更加优雅的实现方式。
+
+## 11.7.1. &nbsp; 算法流程
+
+设数组的长度为 $n$ ，堆排序的流程如下：
 
 1. 输入数组并建立大顶堆。完成后，最大元素位于堆顶。
 2. 将堆顶元素（第一个元素）与堆底元素（最后一个元素）交换。完成交换后，堆的长度减 $1$ ，已排序元素数量加 $1$ 。
@@ -237,8 +240,8 @@ comments: true
     [class]{}-[func]{heapSort}
     ```
 
-## 11.7.1. &nbsp; 算法特性
+## 11.7.2. &nbsp; 算法特性
 
-- **时间复杂度 $O(n \log n)$ 、非自适应排序** ：从堆中提取最大元素的时间复杂度为 $O(\log n)$ ，共循环 $n - 1$ 轮。
+- **时间复杂度 $O(n \log n)$ 、非自适应排序** ：建堆操作使用 $O(n)$ 时间。从堆中提取最大元素的时间复杂度为 $O(\log n)$ ，共循环 $n - 1$ 轮。
 - **空间复杂度 $O(1)$ 、原地排序** ：几个指针变量使用 $O(1)$ 空间。元素交换和堆化操作都是在原数组上进行的。
 - **非稳定排序**：在交换堆顶元素和堆底元素时，相等元素的相对位置可能发生变化。
diff --git a/chapter_tree/binary_search_tree.md b/chapter_tree/binary_search_tree.md
index 7c2959f36..c8161ecb7 100755
--- a/chapter_tree/binary_search_tree.md
+++ b/chapter_tree/binary_search_tree.md
@@ -88,7 +88,7 @@ comments: true
     ```python title="binary_search_tree.py"
     def search(self, num: int) -> TreeNode | None:
         """查找节点"""
-        cur: TreeNode | None = self.__root
+        cur: TreeNode | None = self.root
         # 循环查找，越过叶节点后跳出
         while cur is not None:
             # 目标节点在 cur 的右子树中
@@ -201,11 +201,14 @@ comments: true
         // 循环查找，越过叶节点后跳出
         while (cur != null) {
             // 目标节点在 cur 的右子树中
-            if (cur.val < num) cur = cur.right;
+            if (cur.val < num) cur =
+                cur.right;
             // 目标节点在 cur 的左子树中
-            else if (cur.val > num) cur = cur.left;
+            else if (cur.val > num)
+                cur = cur.left;
             // 找到目标节点，跳出循环
-            else break;
+            else
+                break;
         }
         // 返回目标节点
         return cur;
@@ -343,11 +346,11 @@ comments: true
     def insert(self, num: int) -> None:
         """插入节点"""
         # 若树为空，直接提前返回
-        if self.__root is None:
+        if self.root is None:
             return
 
         # 循环查找，越过叶节点后跳出
-        cur, pre = self.__root, None
+        cur, pre = self.root, None
         while cur is not None:
             # 找到重复节点，直接返回
             if cur.val == num:
@@ -501,24 +504,30 @@ comments: true
     /* 插入节点 */
     void insert(int num) {
         // 若树为空，直接提前返回
-        if (root == null) return;
+        if (root == null)
+            return;
         TreeNode? cur = root, pre = null;
         // 循环查找，越过叶节点后跳出
         while (cur != null) {
             // 找到重复节点，直接返回
-            if (cur.val == num) return;
+            if (cur.val == num)
+                return;
             pre = cur;
             // 插入位置在 cur 的右子树中
-            if (cur.val < num) cur = cur.right;
+            if (cur.val < num)
+                cur = cur.right;
             // 插入位置在 cur 的左子树中
-            else cur = cur.left;
+            else
+                cur = cur.left;
         }
 
         // 插入节点
         TreeNode node = new TreeNode(num);
         if (pre != null) {
-            if (pre.val < num) pre.right = node;
-            else pre.left = node;
+            if (pre.val < num)
+                pre.right = node;
+            else
+                pre.left = node;
         }
     }
     ```
@@ -663,10 +672,15 @@ comments: true
             // 当子节点数量 = 0 / 1 时， child = null / 该子节点
             TreeNode child = cur.left != null ? cur.left : cur.right;
             // 删除节点 cur
-            if (pre.left == cur)
-                pre.left = child;
-            else
-                pre.right = child;
+            if (cur != root) {
+                if (pre.left == cur)
+                    pre.left = child;
+                else
+                    pre.right = child;
+            } else {
+                // 若删除节点为根节点，则重新指定根节点
+                root = child;
+            }
         }
         // 子节点数量 = 2
         else {
@@ -713,10 +727,15 @@ comments: true
             // 当子节点数量 = 0 / 1 时， child = nullptr / 该子节点
             TreeNode *child = cur->left != nullptr ? cur->left : cur->right;
             // 删除节点 cur
-            if (pre->left == cur)
-                pre->left = child;
-            else
-                pre->right = child;
+            if (cur != root) {
+                if (pre->left == cur)
+                    pre->left = child;
+                else
+                    pre->right = child;
+            } else {
+                // 若删除节点为根节点，则重新指定根节点
+                root = child;
+            }
             // 释放内存
             delete cur;
         }
@@ -742,11 +761,11 @@ comments: true
     def remove(self, num: int) -> None:
         """删除节点"""
         # 若树为空，直接提前返回
-        if self.__root is None:
+        if self.root is None:
             return
 
         # 循环查找，越过叶节点后跳出
-        cur, pre = self.__root, None
+        cur, pre = self.root, None
         while cur is not None:
             # 找到待删除节点，跳出循环
             if cur.val == num:
@@ -767,10 +786,14 @@ comments: true
             # 当子节点数量 = 0 / 1 时， child = null / 该子节点
             child = cur.left or cur.right
             # 删除节点 cur
-            if pre.left == cur:
-                pre.left = child
+            if cur != self.root:
+                if pre.left == cur:
+                    pre.left = child
+                else:
+                    pre.right = child
             else:
-                pre.right = child
+                # 若删除节点为根节点，则重新指定根节点
+                self.__root = cur
         # 子节点数量 = 2
         else:
             # 获取中序遍历中 cur 的下一个节点
@@ -822,11 +845,16 @@ comments: true
             } else {
                 child = cur.Right
             }
-            // 将子节点替换为待删除节点
-            if pre.Left == cur {
-                pre.Left = child
+            // 删除节点 cur
+            if cur != bst.root {
+                if pre.Left == cur {
+                    pre.Left = child
+                } else {
+                    pre.Right = child
+                }
             } else {
-                pre.Right = child
+                // 若删除节点为根节点，则重新指定根节点
+                bst.root = child
             }
             // 子节点数为 2
         } else {
@@ -869,8 +897,13 @@ comments: true
             // 当子节点数量 = 0 / 1 时， child = null / 该子节点
             let child = cur.left !== null ? cur.left : cur.right;
             // 删除节点 cur
-            if (pre.left === cur) pre.left = child;
-            else pre.right = child;
+            if (cur != root) {
+                if (pre.left === cur) pre.left = child;
+                else pre.right = child;
+            } else {
+                // 若删除节点为根节点，则重新指定根节点
+                root = child;
+            }
         }
         // 子节点数量 = 2
         else {
@@ -920,10 +953,15 @@ comments: true
             // 当子节点数量 = 0 / 1 时， child = null / 该子节点
             let child = cur.left !== null ? cur.left : cur.right;
             // 删除节点 cur
-            if (pre!.left === cur) {
-                pre!.left = child;
+            if (cur != root) {
+                if (pre!.left === cur) {
+                    pre!.left = child;
+                } else {
+                    pre!.right = child;
+                }
             } else {
-                pre!.right = child;
+                // 若删除节点为根节点，则重新指定根节点
+                root = child;
             }
         }
         // 子节点数量 = 2
@@ -1001,29 +1039,38 @@ comments: true
     /* 删除节点 */
     void remove(int num) {
         // 若树为空，直接提前返回
-        if (root == null) return;
+        if (root == null)
+            return;
         TreeNode? cur = root, pre = null;
         // 循环查找，越过叶节点后跳出
         while (cur != null) {
             // 找到待删除节点，跳出循环
-            if (cur.val == num) break;
+            if (cur.val == num)
+                break;
             pre = cur;
             // 待删除节点在 cur 的右子树中
-            if (cur.val < num) cur = cur.right;
+            if (cur.val < num)
+                cur = cur.right;
             // 待删除节点在 cur 的左子树中
-            else cur = cur.left;
+            else
+                cur = cur.left;
         }
         // 若无待删除节点，则直接返回
-        if (cur == null || pre == null) return;
+        if (cur == null || pre == null)
+            return;
         // 子节点数量 = 0 or 1
         if (cur.left == null || cur.right == null) {
             // 当子节点数量 = 0 / 1 时， child = null / 该子节点
             TreeNode? child = cur.left != null ? cur.left : cur.right;
             // 删除节点 cur
-            if (pre.left == cur) {
-                pre.left = child;
+            if (cur != root) {
+                if (pre.left == cur)
+                    pre.left = child;
+                else
+                    pre.right = child;
             } else {
-                pre.right = child;
+                // 若删除节点为根节点，则重新指定根节点
+                root = child;
             }
         }
         // 子节点数量 = 2
@@ -1078,10 +1125,15 @@ comments: true
             // 当子节点数量 = 0 / 1 时， child = null / 该子节点
             let child = cur?.left != nil ? cur?.left : cur?.right
             // 删除节点 cur
-            if pre?.left === cur {
-                pre?.left = child
+            if cur != root {
+                if pre?.left === cur {
+                    pre?.left = child
+                } else {
+                    pre?.right = child
+                }
             } else {
-                pre?.right = child
+                // 若删除节点为根节点，则重新指定根节点
+                root = cur;
             }
         }
         // 子节点数量 = 2