diff --git a/chapter_computational_complexity/iteration_and_recursion.md b/chapter_computational_complexity/iteration_and_recursion.md index 3c55abdc8..cd0373001 100644 --- a/chapter_computational_complexity/iteration_and_recursion.md +++ b/chapter_computational_complexity/iteration_and_recursion.md @@ -1162,7 +1162,7 @@ status: new [class]{}-[func]{tailRecur} ``` -两种递归的过程对比如图 2-5 所示。 +尾递归的执行过程如图 2-5 所示。对比普通递归和尾递归,求和操作的执行点是不同的。 - **普通递归**:求和操作是在“归”的过程中执行的,每层返回后都要再执行一次求和操作。 - **尾递归**:求和操作是在“递”的过程中执行的,“归”的过程只需层层返回。 @@ -1171,7 +1171,9 @@ status: new

图 2-5   尾递归过程

-请注意,许多编译器或解释器并不支持尾递归优化。例如,Python 默认不支持尾递归优化,因此即使函数是尾递归形式,但仍然可能会遇到栈溢出问题。 +!!! tip + + 请注意,许多编译器或解释器并不支持尾递归优化。例如,Python 默认不支持尾递归优化,因此即使函数是尾递归形式,但仍然可能会遇到栈溢出问题。 ### 3.   递归树 @@ -1368,3 +1370,161 @@ status: new - 从算法角度看,搜索、排序、回溯、分治、动态规划等许多重要算法策略都直接或间接地应用这种思维方式。 - 从数据结构角度看,递归天然适合处理链表、树和图的相关问题,因为它们非常适合用分治思想进行分析。 + +## 2.2.3   两者对比 + +总结以上内容,如表 2-1 所示,迭代和递归在实现、性能和适用性上有所不同。 + +

表 2-1   迭代与递归特点对比

+ +
+ +| | 迭代 | 递归 | +| -------- | -------------------------------------- | ------------------------------------------------------------ | +| 实现方式 | 循环结构 | 函数调用自身 | +| 时间效率 | 效率通常较高,无函数调用开销 | 每次函数调用都会产生开销 | +| 内存使用 | 通常使用固定大小的内存空间 | 累积函数调用可能使用大量的栈帧空间 | +| 适用问题 | 适用于简单循环任务,代码直观、可读性好 | 适用于子问题分解,如树、图、分治、回溯等,代码结构简洁、清晰 | + +
+ +!!! tip + + 如果感觉以下内容理解困难,可以在读完“栈”章节后再来复习。 + +那么,迭代和递归具有什么内在联系呢?以上述的递归函数为例,求和操作在递归的“归”阶段进行。这意味着最初被调用的函数实际上是最后完成其求和操作的,**这种工作机制与栈的“先入后出”原则是异曲同工的**。 + +事实上,“调用栈”和“栈帧空间”这类递归术语已经暗示了递归与栈之间的密切关系。 + +1. **递**:当函数被调用时,系统会在“调用栈”上为该函数分配新的栈帧,用于存储函数的局部变量、参数、返回地址等数据。 +2. **归**:当函数完成执行并返回时,对应的栈帧会从“调用栈”上被移除,恢复之前函数的执行环境。 + +因此,**我们可以使用一个显式的栈来模拟调用栈的行为**,从而将递归转化为迭代形式: + +=== "Python" + + ```python title="recursion.py" + def for_loop_recur(n: int) -> int: + """使用迭代模拟递归""" + # 使用一个显式的栈来模拟系统调用栈 + stack = [] + res = 0 + # 递:递归调用 + for i in range(n, 0, -1): + # 通过“入栈操作”模拟“递” + stack.append(i) + # 归:返回结果 + while stack: + # 通过“出栈操作”模拟“归” + res += stack.pop() + # res = 1+2+3+...+n + return res + ``` + +=== "C++" + + ```cpp title="recursion.cpp" + /* 使用迭代模拟递归 */ + int forLoopRecur(int n) { + // 使用一个显式的栈来模拟系统调用栈 + stack stack; + int res = 0; + // 递:递归调用 + for (int i = n; i > 0; i--) { + // 通过“入栈操作”模拟“递” + stack.push(i); + } + // 归:返回结果 + while (!stack.empty()) { + // 通过“出栈操作”模拟“归” + res += stack.top(); + stack.pop(); + } + // res = 1+2+3+...+n + return res; + } + ``` + +=== "Java" + + ```java title="recursion.java" + /* 使用迭代模拟递归 */ + int forLoopRecur(int n) { + // 使用一个显式的栈来模拟系统调用栈 + Stack stack = new Stack<>(); + int res = 0; + // 递:递归调用 + for (int i = n; i > 0; i--) { + // 通过“入栈操作”模拟“递” + stack.push(i); + } + // 归:返回结果 + while (!stack.isEmpty()) { + // 通过“出栈操作”模拟“归” + res += stack.pop(); + } + // res = 1+2+3+...+n + return res; + } + ``` + +=== "C#" + + ```csharp title="recursion.cs" + [class]{recursion}-[func]{forLoopRecur} + ``` + +=== "Go" + + ```go title="recursion.go" + [class]{}-[func]{forLoopRecur} + ``` + +=== "Swift" + + ```swift title="recursion.swift" + [class]{}-[func]{forLoopRecur} + ``` + +=== "JS" + + ```javascript title="recursion.js" + [class]{}-[func]{forLoopRecur} + ``` + +=== "TS" + + ```typescript title="recursion.ts" + [class]{}-[func]{forLoopRecur} + ``` + +=== "Dart" + + ```dart title="recursion.dart" + [class]{}-[func]{forLoopRecur} + ``` + +=== "Rust" + + ```rust title="recursion.rs" + [class]{}-[func]{for_loop_recur} + ``` + +=== "C" + + ```c title="recursion.c" + [class]{}-[func]{forLoopRecur} + ``` + +=== "Zig" + + ```zig title="recursion.zig" + [class]{}-[func]{forLoopRecur} + ``` + +观察以上代码,当递归被转换为迭代后,代码变得更加复杂了。尽管迭代和递归在很多情况下可以互相转换,但也不一定值得这样做,有以下两点原因。 + +- 转化后的代码可能更加难以理解,可读性更差。 +- 对于某些复杂问题,模拟系统调用栈的行为可能非常困难。 + +总之,**选择迭代还是递归取决于特定问题的性质**。在编程实践中,权衡两者的优劣并根据情境选择合适的方法是至关重要的。 diff --git a/chapter_computational_complexity/time_complexity.md b/chapter_computational_complexity/time_complexity.md index e57b6f282..60a9d08fe 100755 --- a/chapter_computational_complexity/time_complexity.md +++ b/chapter_computational_complexity/time_complexity.md @@ -874,9 +874,9 @@ $$ **时间复杂度由多项式 $T(n)$ 中最高阶的项来决定**。这是因为在 $n$ 趋于无穷大时,最高阶的项将发挥主导作用,其他项的影响都可以被忽略。 -表 2-1 展示了一些例子,其中一些夸张的值是为了强调“系数无法撼动阶数”这一结论。当 $n$ 趋于无穷大时,这些常数变得无足轻重。 +表 2-2 展示了一些例子,其中一些夸张的值是为了强调“系数无法撼动阶数”这一结论。当 $n$ 趋于无穷大时,这些常数变得无足轻重。 -

表 2-1   不同操作数量对应的时间复杂度

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表 2-2   不同操作数量对应的时间复杂度