build

chapter_array_and_linkedlist/linked_list.md

@@ -28,8 +28,8 @@ comments: true
     class ListNode:
         """链表节点类"""
         def __init__(self, val: int):
-            self.val: int = val                  # 节点值
-            self.next: Optional[ListNode] = None # 指向下一节点的引用
+            self.val: int = val               # 节点值
+            self.next: ListNode | None = None # 指向下一节点的引用
     ```
 
 === "C++"
@@ -1134,9 +1134,9 @@ comments: true
     class ListNode:
         """双向链表节点类"""
         def __init__(self, val: int):
-            self.val: int = val                   # 节点值
-            self.next: Optional[ListNode] = None  # 指向后继节点的引用
-            self.prev: Optional[ListNode] = None  # 指向前驱节点的引用
+            self.val: int = val                # 节点值
+            self.next: ListNode | None = None  # 指向后继节点的引用
+            self.prev: ListNode | None = None  # 指向前驱节点的引用
     ```
 
 === "C++"

chapter_computational_complexity/space_complexity.md

@@ -34,8 +34,8 @@ comments: true
     class Node:
         """类"""
         def __init__(self, x: int):
-            self.val: int = x                 # 节点值
-            self.next: Optional[Node] = None  # 指向下一节点的引用
+            self.val: int = x              # 节点值
+            self.next: Node | None = None  # 指向下一节点的引用
 
     def function() -> int:
         """函数"""

chapter_hashing/hash_algorithm.md

@@ -6,11 +6,11 @@ comments: true
 
 在上两节中，我们了解了哈希表的工作原理和哈希冲突的处理方法。然而无论是开放寻址还是链地址法，**它们只能保证哈希表可以在发生冲突时正常工作，但无法减少哈希冲突的发生**。
 
-如果哈希冲突过于频繁，哈希表的性能则会急剧劣化。如图 6-7 所示，对于链地址哈希表，理想情况下键值对平均分布在各个桶中，达到最佳查询效率；最差情况下所有键值对都被存储到同一个桶中，时间复杂度退化至 $O(n)$ 。
+如果哈希冲突过于频繁，哈希表的性能则会急剧劣化。如图 6-8 所示，对于链地址哈希表，理想情况下键值对平均分布在各个桶中，达到最佳查询效率；最差情况下所有键值对都被存储到同一个桶中，时间复杂度退化至 $O(n)$ 。
 
 ![哈希冲突的最佳与最差情况](hash_algorithm.assets/hash_collision_best_worst_condition.png)
 
-<p align="center"> 图 6-7 &nbsp; 哈希冲突的最佳与最差情况 </p>
+<p align="center"> 图 6-8 &nbsp; 哈希冲突的最佳与最差情况 </p>
 
 **键值对的分布情况由哈希函数决定**。回忆哈希函数的计算步骤，先计算哈希值，再对数组长度取模：
 

chapter_hashing/hash_collision.md

@@ -4,7 +4,7 @@ comments: true
 
 # 6.2   哈希冲突
 
-上节提到，**通常情况下哈希函数的输入空间远大于输出空间**，因此理论上哈希冲突是不可避免的。比如，输入空间为全体整数，输出空间为数组容量大小，则必然有多个整数映射至同一数组索引。
+上节提到，**通常情况下哈希函数的输入空间远大于输出空间**，因此理论上哈希冲突是不可避免的。比如，输入空间为全体整数，输出空间为数组容量大小，则必然有多个整数映射至同一桶索引。
 
 哈希冲突会导致查询结果错误，严重影响哈希表的可用性。为解决该问题，我们可以每当遇到哈希冲突时就进行哈希表扩容，直至冲突消失为止。此方法简单粗暴且有效，但效率太低，因为哈希表扩容需要进行大量的数据搬运与哈希值计算。为了提升效率，我们可以采用以下策略。
 
@@ -21,9 +21,9 @@ comments: true
 
 <p align="center"> 图 6-5 &nbsp; 链式地址哈希表 </p>
 
-哈希表在链式地址下的操作方法发生了一些变化。
+基于链式地址实现的哈希表的操作方法发生了以下变化。
 
-- **查询元素**：输入 `key` ，经过哈希函数得到数组索引，即可访问链表头节点，然后遍历链表并对比 `key` 以查找目标键值对。
+- **查询元素**：输入 `key` ，经过哈希函数得到桶索引，即可访问链表头节点，然后遍历链表并对比 `key` 以查找目标键值对。
 - **添加元素**：先通过哈希函数访问链表头节点，然后将节点（即键值对）添加到链表中。
 - **删除元素**：根据哈希函数的结果访问链表头部，接着遍历链表以查找目标节点，并将其删除。
 
@@ -1336,28 +1336,36 @@ comments: true
 
 「开放寻址 open addressing」不引入额外的数据结构，而是通过“多次探测”来处理哈希冲突，探测方式主要包括线性探测、平方探测、多次哈希等。
 
+下面将主要以线性探测为例，介绍开放寻址哈希表的工作机制与代码实现。
+
 ### 1. &nbsp; 线性探测
 
 线性探测采用固定步长的线性搜索来进行探测，其操作方法与普通哈希表有所不同。
 
-- **插入元素**：通过哈希函数计算数组索引，若发现桶内已有元素，则从冲突位置向后线性遍历（步长通常为 $1$ ），直至找到空位，将元素插入其中。
-- **查找元素**：若发现哈希冲突，则使用相同步长向后线性遍历，直到找到对应元素，返回 `value` 即可；如果遇到空位，说明目标键值对不在哈希表中，返回 $\text{None}$ 。
+- **插入元素**：通过哈希函数计算桶索引，若发现桶内已有元素，则从冲突位置向后线性遍历（步长通常为 $1$ ），直至找到空桶，将元素插入其中。
+- **查找元素**：若发现哈希冲突，则使用相同步长向后线性遍历，直到找到对应元素，返回 `value` 即可；如果遇到空桶，说明目标元素不在哈希表中，返回 $\text{None}$ 。
 
-图 6-6 展示了一个在开放寻址（线性探测）下工作的哈希表。
+图 6-6 展示了开放寻址（线性探测）哈希表的键值对分布。根据此哈希函数，最后两位相同的 `key` 都会被映射到相同的桶。而通过线性探测，它们被依次存储在该桶以及之下的桶中。
 
 ![开放寻址和线性探测](hash_collision.assets/hash_table_linear_probing.png)
 
 <p align="center"> 图 6-6 &nbsp; 开放寻址和线性探测 </p>
 
-然而，线性探测存在以下缺陷。
+然而，**线性探测容易产生“聚集现象”**。具体来说，数组中连续被占用的位置越长，这些连续位置发生哈希冲突的可能性越大，从而进一步促使该位置的聚堆生长，形成恶性循环，最终导致增删查改操作效率劣化。
 
-- **不能直接删除元素**。删除元素会在数组内产生一个空位，当查找该空位之后的元素时，该空位可能导致程序误判元素不存在。为此，通常需要借助一个标志位来标记已删除元素。
-- **容易产生聚集**。数组内连续被占用位置越长，这些连续位置发生哈希冲突的可能性越大，进一步促使这一位置的聚堆生长，形成恶性循环，最终导致增删查改操作效率劣化。
+值得注意的是，**我们不能在开放寻址哈希表中直接删除元素**。这是因为删除元素会在数组内产生一个空桶 $\text{None}$ ，而当查询元素时，线性探测到该空桶就会返回，因此在该空桶之下的元素都无法再被访问到，程序可能误判这些元素不存在。
 
-以下代码实现了一个简单的开放寻址（线性探测）哈希表。
+![在开放寻址中删除元素导致的查询问题](hash_collision.assets/hash_table_open_addressing_deletion.png)
 
-- 我们使用一个固定的键值对实例 `removed` 来标记已删除元素。也就是说，当一个桶内的元素为 $\text{None}$ 或 `removed` 时，说明这个桶是空的，可用于放置键值对。
-- 在线性探测时，我们从当前索引 `index` 向后遍历；而当越过数组尾部时，需要回到头部继续遍历。
+<p align="center"> 图 6-7 &nbsp; 在开放寻址中删除元素导致的查询问题 </p>
+
+为了解决该问题，我们可以采用「懒删除 lazy deletion」机制：它不直接从哈希表中移除元素，**而是利用一个常量 `TOMBSTONE` 来标记这个桶**。在该机制下，$\text{None}$ 和 `TOMBSTONE` 都代表空桶，都可以放置键值对。但不同的是，线性探测到 `TOMBSTONE` 时应该继续遍历，因为其之下可能还存在键值对。
+
+然而，**懒删除可能会加速哈希表的性能退化**。这是因为每次删除操作都会产生一个删除标记，随着 `TOMBSTONE` 的增加，搜索时间也会增加，因为线性探测可能需要跳过多个 `TOMBSTONE` 才能找到目标元素。
+
+为此，考虑在线性探测中记录遇到的首个 `TOMBSTONE` 的索引，并将搜索到的目标元素与该 `TOMBSTONE` 交换位置。这样做的好处是当每次查询或添加元素时，元素会被移动至距离理想位置（探测起始点）更近的桶，从而优化查询效率。
+
+以下代码实现了一个包含懒删除的开放寻址（线性探测）哈希表。为了更加充分地使用哈希表的空间，我们将哈希表表看作是一个“环形数组”，当越过数组尾部时，回到头部继续遍历。
 
 === "Python"
 
@@ -1372,7 +1380,7 @@ comments: true
             self.load_thres = 2 / 3  # 触发扩容的负载因子阈值
             self.extend_ratio = 2  # 扩容倍数
             self.buckets: list[Pair | None] = [None] * self.capacity  # 桶数组
-            self.removed = Pair(-1, "-1")  # 删除标记
+            self.TOMBSTONE = Pair(-1, "-1")  # 删除标记
 
         def hash_func(self, key: int) -> int:
             """哈希函数"""
@@ -1382,55 +1390,61 @@ comments: true
             """负载因子"""
             return self.size / self.capacity
 
+        def find_bucket(self, key: int) -> int:
+            """搜索 key 对应的桶索引"""
+            index = self.hash_func(key)
+            first_tombstone = -1
+            # 线性探测，当遇到空桶时跳出
+            while self.buckets[index] is not None:
+                # 若遇到 key ，返回对应桶索引
+                if self.buckets[index].key == key:
+                    # 若之前遇到了删除标记，则将键值对移动至该索引
+                    if first_tombstone != -1:
+                        self.buckets[first_tombstone] = self.buckets[index]
+                        self.buckets[index] = self.TOMBSTONE
+                        return first_tombstone  # 返回移动后的桶索引
+                    return index  # 返回桶索引
+                # 记录遇到的首个删除标记
+                if first_tombstone == -1 and self.buckets[index] is self.TOMBSTONE:
+                    first_tombstone = index
+                # 计算桶索引，越过尾部返回头部
+                index = (index + 1) % self.capacity
+            # 若 key 不存在，则返回添加点的索引
+            return index if first_tombstone == -1 else first_tombstone
+
         def get(self, key: int) -> str:
             """查询操作"""
-            index = self.hash_func(key)
-            # 线性探测，从 index 开始向后遍历
-            for i in range(self.capacity):
-                # 计算桶索引，越过尾部返回头部
-                j = (index + i) % self.capacity
-                # 若遇到空桶，说明无此 key ，则返回 None
-                if self.buckets[j] is None:
-                    return None
-                # 若遇到指定 key ，则返回对应 val
-                if self.buckets[j].key == key and self.buckets[j] != self.removed:
-                    return self.buckets[j].val
+            # 搜索 key 对应的桶索引
+            index = self.find_bucket(key)
+            # 若找到键值对，则返回对应 val
+            if self.buckets[index] not in [None, self.TOMBSTONE]:
+                return self.buckets[index].val
+            # 若键值对不存在，则返回 None
+            return None
 
         def put(self, key: int, val: str):
             """添加操作"""
             # 当负载因子超过阈值时，执行扩容
             if self.load_factor() > self.load_thres:
                 self.extend()
-            index = self.hash_func(key)
-            # 线性探测，从 index 开始向后遍历
-            for i in range(self.capacity):
-                # 计算桶索引，越过尾部返回头部
-                j = (index + i) % self.capacity
-                # 若遇到空桶、或带有删除标记的桶，则将键值对放入该桶
-                if self.buckets[j] in [None, self.removed]:
-                    self.buckets[j] = Pair(key, val)
-                    self.size += 1
-                    return
-                # 若遇到指定 key ，则更新对应 val
-                if self.buckets[j].key == key:
-                    self.buckets[j].val = val
-                    return
+            # 搜索 key 对应的桶索引
+            index = self.find_bucket(key)
+            # 若找到键值对，则覆盖 val 并返回
+            if self.buckets[index] not in [None, self.TOMBSTONE]:
+                self.buckets[index].val = val
+                return
+            # 若键值对不存在，则添加该键值对
+            self.buckets[index] = Pair(key, val)
+            self.size += 1
 
         def remove(self, key: int):
             """删除操作"""
-            index = self.hash_func(key)
-            # 线性探测，从 index 开始向后遍历
-            for i in range(self.capacity):
-                # 计算桶索引，越过尾部返回头部
-                j = (index + i) % self.capacity
-                # 若遇到空桶，说明无此 key ，则直接返回
-                if self.buckets[j] is None:
-                    return
-                # 若遇到指定 key ，则标记删除并返回
-                if self.buckets[j].key == key:
-                    self.buckets[j] = self.removed
-                    self.size -= 1
-                    return
+            # 搜索 key 对应的桶索引
+            index = self.find_bucket(key)
+            # 若找到键值对，则用删除标记覆盖它
+            if self.buckets[index] not in [None, self.TOMBSTONE]:
+                self.buckets[index] = self.TOMBSTONE
+                self.size -= 1
 
         def extend(self):
             """扩容哈希表"""
@@ -1442,41 +1456,53 @@ comments: true
             self.size = 0
             # 将键值对从原哈希表搬运至新哈希表
             for pair in buckets_tmp:
-                if pair not in [None, self.removed]:
+                if pair not in [None, self.TOMBSTONE]:
                     self.put(pair.key, pair.val)
 
         def print(self):
             """打印哈希表"""
             for pair in self.buckets:
-                if pair is not None:
-                    print(pair.key, "->", pair.val)
-                else:
+                if pair is None:
                     print("None")
+                elif pair is self.TOMBSTONE:
+                    print("TOMBSTONE")
+                else:
+                    print(pair.key, "->", pair.val)
     ```
 
 === "C++"
 
     ```cpp title="hash_map_open_addressing.cpp"
-    /* 开放寻址哈希表 */
+    /**
+     * File: hash_map_open_addressing.cpp
+     * Created Time: 2023-06-13
+     * Author: Krahets (krahets@163.com)
+     */
+
+    #include "./array_hash_map.cpp"
+
     class HashMapOpenAddressing {
       private:
-        int size;               // 键值对数量
-        int capacity;           // 哈希表容量
-        double loadThres;       // 触发扩容的负载因子阈值
-        int extendRatio;        // 扩容倍数
-        vector<Pair *> buckets; // 桶数组
-        Pair *removed;          // 删除标记
+        int size;                             // 键值对数量
+        int capacity = 4;                     // 哈希表容量
+        const double loadThres = 2.0 / 3;     // 触发扩容的负载因子阈值
+        const int extendRatio = 2;            // 扩容倍数
+        vector<Pair *> buckets;               // 桶数组
+        Pair *TOMBSTONE = new Pair(-1, "-1"); // 删除标记
 
       public:
         /* 构造方法 */
-        HashMapOpenAddressing() {
-            // 构造方法
-            size = 0;
-            capacity = 4;
-            loadThres = 2.0 / 3.0;
-            extendRatio = 2;
-            buckets = vector<Pair *>(capacity, nullptr);
-            removed = new Pair(-1, "-1");
+        HashMapOpenAddressing() : size(0), buckets(capacity, nullptr) {
+        }
+
+        /* 析构方法 */
+        ~HashMapOpenAddressing() {
+            for (Pair *pair : buckets) {
+                if (pair != nullptr && pair != TOMBSTONE) {
+                    delete pair;
+                }
+            }
+            delete TOMBSTONE;
         }
 
         /* 哈希函数 */
@@ -1486,67 +1512,75 @@ comments: true
 
         /* 负载因子 */
         double loadFactor() {
-            return static_cast<double>(size) / capacity;
+            return (double)size / capacity;
+        }
+
+        /* 搜索 key 对应的桶索引 */
+        int findBucket(int key) {
+            int index = hashFunc(key);
+            int firstTombstone = -1;
+            // 线性探测，当遇到空桶时跳出
+            while (buckets[index] != nullptr) {
+                // 若遇到 key ，返回对应桶索引
+                if (buckets[index]->key == key) {
+                    // 若之前遇到了删除标记，则将键值对移动至该索引
+                    if (firstTombstone != -1) {
+                        buckets[firstTombstone] = buckets[index];
+                        buckets[index] = TOMBSTONE;
+                        return firstTombstone; // 返回移动后的桶索引
+                    }
+                    return index; // 返回桶索引
+                }
+                // 记录遇到的首个删除标记
+                if (firstTombstone == -1 && buckets[index] == TOMBSTONE) {
+                    firstTombstone = index;
+                }
+                // 计算桶索引，越过尾部返回头部
+                index = (index + 1) % capacity;
+            }
+            // 若 key 不存在，则返回添加点的索引
+            return firstTombstone == -1 ? index : firstTombstone;
         }
 
         /* 查询操作 */
         string get(int key) {
-            int index = hashFunc(key);
-            // 线性探测，从 index 开始向后遍历
-            for (int i = 0; i < capacity; i++) {
-                // 计算桶索引，越过尾部返回头部
-                int j = (index + i) % capacity;
-                // 若遇到空桶，说明无此 key ，则返回 nullptr
-                if (buckets[j] == nullptr)
-                    return nullptr;
-                // 若遇到指定 key ，则返回对应 val
-                if (buckets[j]->key == key && buckets[j] != removed)
-                    return buckets[j]->val;
+            // 搜索 key 对应的桶索引
+            int index = findBucket(key);
+            // 若找到键值对，则返回对应 val
+            if (buckets[index] != nullptr && buckets[index] != TOMBSTONE) {
+                return buckets[index]->val;
             }
-            return nullptr;
+            // 若键值对不存在，则返回空字符串
+            return "";
         }
 
         /* 添加操作 */
         void put(int key, string val) {
             // 当负载因子超过阈值时，执行扩容
-            if (loadFactor() > loadThres)
+            if (loadFactor() > loadThres) {
                 extend();
-            int index = hashFunc(key);
-            // 线性探测，从 index 开始向后遍历
-            for (int i = 0; i < capacity; i++) {
-                // 计算桶索引，越过尾部返回头部
-                int j = (index + i) % capacity;
-                // 若遇到空桶、或带有删除标记的桶，则将键值对放入该桶
-                if (buckets[j] == nullptr || buckets[j] == removed) {
-                    buckets[j] = new Pair(key, val);
-                    size += 1;
-                    return;
-                }
-                // 若遇到指定 key ，则更新对应 val
-                if (buckets[j]->key == key) {
-                    buckets[j]->val = val;
-                    return;
-                }
             }
+            // 搜索 key 对应的桶索引
+            int index = findBucket(key);
+            // 若找到键值对，则覆盖 val 并返回
+            if (buckets[index] != nullptr && buckets[index] != TOMBSTONE) {
+                buckets[index]->val = val;
+                return;
+            }
+            // 若键值对不存在，则添加该键值对
+            buckets[index] = new Pair(key, val);
+            size++;
         }
 
         /* 删除操作 */
         void remove(int key) {
-            int index = hashFunc(key);
-            // 线性探测，从 index 开始向后遍历
-            for (int i = 0; i < capacity; i++) {
-                // 计算桶索引，越过尾部返回头部
-                int j = (index + i) % capacity;
-                // 若遇到空桶，说明无此 key ，则直接返回
-                if (buckets[j] == nullptr)
-                    return;
-                // 若遇到指定 key ，则标记删除并返回
-                if (buckets[j]->key == key) {
-                    delete buckets[j]; // 释放内存
-                    buckets[j] = removed;
-                    size -= 1;
-                    return;
-                }
+            // 搜索 key 对应的桶索引
+            int index = findBucket(key);
+            // 若找到键值对，则用删除标记覆盖它
+            if (buckets[index] != nullptr && buckets[index] != TOMBSTONE) {
+                delete buckets[index];
+                buckets[index] = TOMBSTONE;
+                size--;
             }
         }
 
@@ -1560,19 +1594,22 @@ comments: true
             size = 0;
             // 将键值对从原哈希表搬运至新哈希表
             for (Pair *pair : bucketsTmp) {
-                if (pair != nullptr && pair != removed) {
+                if (pair != nullptr && pair != TOMBSTONE) {
                     put(pair->key, pair->val);
+                    delete pair;
                 }
             }
         }
 
         /* 打印哈希表 */
         void print() {
-            for (auto &pair : buckets) {
-                if (pair != nullptr) {
-                    cout << pair->key << " -> " << pair->val << endl;
-                } else {
+            for (Pair *pair : buckets) {
+                if (pair == nullptr) {
                     cout << "nullptr" << endl;
+                } else if (pair == TOMBSTONE) {
+                    cout << "TOMBSTONE" << endl;
+                } else {
+                    cout << pair->key << " -> " << pair->val << endl;
                 }
             }
         }
@@ -1585,46 +1622,64 @@ comments: true
     /* 开放寻址哈希表 */
     class HashMapOpenAddressing {
         private int size; // 键值对数量
-        private int capacity; // 哈希表容量
-        private double loadThres; // 触发扩容的负载因子阈值
-        private int extendRatio; // 扩容倍数
+        private int capacity = 4; // 哈希表容量
+        private final double loadThres = 2.0 / 3; // 触发扩容的负载因子阈值
+        private final int extendRatio = 2; // 扩容倍数
         private Pair[] buckets; // 桶数组
-        private Pair removed; // 删除标记
+        private final Pair TOMBSTONE = new Pair(-1, "-1"); // 删除标记
 
         /* 构造方法 */
         public HashMapOpenAddressing() {
             size = 0;
-            capacity = 4;
-            loadThres = 2.0 / 3.0;
-            extendRatio = 2;
             buckets = new Pair[capacity];
-            removed = new Pair(-1, "-1");
         }
 
         /* 哈希函数 */
-        public int hashFunc(int key) {
+        private int hashFunc(int key) {
             return key % capacity;
         }
 
         /* 负载因子 */
-        public double loadFactor() {
+        private double loadFactor() {
             return (double) size / capacity;
         }
 
+        /* 搜索 key 对应的桶索引 */
+        private int findBucket(int key) {
+            int index = hashFunc(key);
+            int firstTombstone = -1;
+            // 线性探测，当遇到空桶时跳出
+            while (buckets[index] != null) {
+                // 若遇到 key ，返回对应桶索引
+                if (buckets[index].key == key) {
+                    // 若之前遇到了删除标记，则将键值对移动至该索引
+                    if (firstTombstone != -1) {
+                        buckets[firstTombstone] = buckets[index];
+                        buckets[index] = TOMBSTONE;
+                        return firstTombstone; // 返回移动后的桶索引
+                    }
+                    return index; // 返回桶索引
+                }
+                // 记录遇到的首个删除标记
+                if (firstTombstone == -1 && buckets[index] == TOMBSTONE) {
+                    firstTombstone = index;
+                }
+                // 计算桶索引，越过尾部返回头部
+                index = (index + 1) % capacity;
+            }
+            // 若 key 不存在，则返回添加点的索引
+            return firstTombstone == -1 ? index : firstTombstone;
+        }
+
         /* 查询操作 */
         public String get(int key) {
-            int index = hashFunc(key);
-            // 线性探测，从 index 开始向后遍历
-            for (int i = 0; i < capacity; i++) {
-                // 计算桶索引，越过尾部返回头部
-                int j = (index + i) % capacity;
-                // 若遇到空桶，说明无此 key ，则返回 null
-                if (buckets[j] == null)
-                    return null;
-                // 若遇到指定 key ，则返回对应 val
-                if (buckets[j].key == key && buckets[j] != removed)
-                    return buckets[j].val;
+            // 搜索 key 对应的桶索引
+            int index = findBucket(key);
+            // 若找到键值对，则返回对应 val
+            if (buckets[index] != null && buckets[index] != TOMBSTONE) {
+                return buckets[index].val;
             }
+            // 若键值对不存在，则返回 null
             return null;
         }
 
@@ -1634,47 +1689,31 @@ comments: true
             if (loadFactor() > loadThres) {
                 extend();
             }
-            int index = hashFunc(key);
-            // 线性探测，从 index 开始向后遍历
-            for (int i = 0; i < capacity; i++) {
-                // 计算桶索引，越过尾部返回头部
-                int j = (index + i) % capacity;
-                // 若遇到空桶、或带有删除标记的桶，则将键值对放入该桶
-                if (buckets[j] == null || buckets[j] == removed) {
-                    buckets[j] = new Pair(key, val);
-                    size += 1;
-                    return;
-                }
-                // 若遇到指定 key ，则更新对应 val
-                if (buckets[j].key == key) {
-                    buckets[j].val = val;
-                    return;
-                }
+            // 搜索 key 对应的桶索引
+            int index = findBucket(key);
+            // 若找到键值对，则覆盖 val 并返回
+            if (buckets[index] != null && buckets[index] != TOMBSTONE) {
+                buckets[index].val = val;
+                return;
             }
+            // 若键值对不存在，则添加该键值对
+            buckets[index] = new Pair(key, val);
+            size++;
         }
 
         /* 删除操作 */
         public void remove(int key) {
-            int index = hashFunc(key);
-            // 线性探测，从 index 开始向后遍历
-            for (int i = 0; i < capacity; i++) {
-                // 计算桶索引，越过尾部返回头部
-                int j = (index + i) % capacity;
-                // 若遇到空桶，说明无此 key ，则直接返回
-                if (buckets[j] == null) {
-                    return;
-                }
-                // 若遇到指定 key ，则标记删除并返回
-                if (buckets[j].key == key) {
-                    buckets[j] = removed;
-                    size -= 1;
-                    return;
-                }
+            // 搜索 key 对应的桶索引
+            int index = findBucket(key);
+            // 若找到键值对，则用删除标记覆盖它
+            if (buckets[index] != null && buckets[index] != TOMBSTONE) {
+                buckets[index] = TOMBSTONE;
+                size--;
             }
         }
 
         /* 扩容哈希表 */
-        public void extend() {
+        private void extend() {
             // 暂存原哈希表
             Pair[] bucketsTmp = buckets;
             // 初始化扩容后的新哈希表
@@ -1683,7 +1722,7 @@ comments: true
             size = 0;
             // 将键值对从原哈希表搬运至新哈希表
             for (Pair pair : bucketsTmp) {
-                if (pair != null && pair != removed) {
+                if (pair != null && pair != TOMBSTONE) {
                     put(pair.key, pair.val);
                 }
             }
@@ -1692,10 +1731,12 @@ comments: true
         /* 打印哈希表 */
         public void print() {
             for (Pair pair : buckets) {
-                if (pair != null) {
-                    System.out.println(pair.key + " -> " + pair.val);
-                } else {
+                if (pair == null) {
                     System.out.println("null");
+                } else if (pair == TOMBSTONE) {
+                    System.out.println("TOMBSTONE");
+                } else {
+                    System.out.println(pair.key + " -> " + pair.val);
                 }
             }
         }
@@ -2621,19 +2662,37 @@ comments: true
     [class]{HashMapOpenAddressing}-[func]{}
     ```
 
-### 2. &nbsp; 多次哈希
+### 2. &nbsp; 平方探测
 
-顾名思义，多次哈希方法是使用多个哈希函数 $f_1(x)$、$f_2(x)$、$f_3(x)$、$\dots$ 进行探测。
+平方探测与线性探测类似，都是开放寻址的常见策略之一。当发生冲突时，平方探测不是简单地跳过一个固定的步数，而是跳过“探测次数的平方”的步数，即 $1, 4, 9, \dots$ 步。
 
-- **插入元素**：若哈希函数 $f_1(x)$ 出现冲突，则尝试 $f_2(x)$ ，以此类推，直到找到空位后插入元素。
-- **查找元素**：在相同的哈希函数顺序下进行查找，直到找到目标元素时返回；或遇到空位或已尝试所有哈希函数，说明哈希表中不存在该元素，则返回 $\text{None}$ 。
+平方探测通主要具有以下优势。
+
+- 平方探测通过跳过平方的距离，试图缓解线性探测的聚集效应。
+- 平方探测会跳过更大的距离来寻找空位置，有助于数据分布得更加均匀。
+
+然而，平方探测也并不是完美的。
+
+- 仍然存在聚集现象，即某些位置比其他位置更容易被占用。
+- 由于平方的增长，平方探测可能不会探测整个哈希表，这意味着即使哈希表中有空桶，平方探测也可能无法访问到它。
+
+### 3. &nbsp; 多次哈希
+
+多次哈希使用多个哈希函数 $f_1(x)$、$f_2(x)$、$f_3(x)$、$\dots$ 进行探测。
+
+- **插入元素**：若哈希函数 $f_1(x)$ 出现冲突，则尝试 $f_2(x)$ ，以此类推，直到找到空桶后插入元素。
+- **查找元素**：在相同的哈希函数顺序下进行查找，直到找到目标元素时返回；或当遇到空桶或已尝试所有哈希函数，说明哈希表中不存在该元素，则返回 $\text{None}$ 。
 
 与线性探测相比，多次哈希方法不易产生聚集，但多个哈希函数会增加额外的计算量。
 
+!!! tip
+
+    请注意，开放寻址（线性探测、平方探测和多次哈希）哈希表都存在“不能直接删除元素”的问题。
+
 ## 6.2.3 &nbsp; 编程语言的选择
 
-Java 采用链式地址。自 JDK 1.8 以来，当 HashMap 内数组长度达到 64 且链表长度达到 8 时，链表会被转换为红黑树以提升查找性能。
+各个编程语言采取了不同的哈希表实现策略，以下举几个例子。
 
-Python 采用开放寻址。字典 dict 使用伪随机数进行探测。
-
-Golang 采用链式地址。Go 规定每个桶最多存储 8 个键值对，超出容量则连接一个溢出桶；当溢出桶过多时，会执行一次特殊的等量扩容操作，以确保性能。
+- Java 采用链式地址。自 JDK 1.8 以来，当 HashMap 内数组长度达到 64 且链表长度达到 8 时，链表会被转换为红黑树以提升查找性能。
+- Python 采用开放寻址。字典 dict 使用伪随机数进行探测。
+- Golang 采用链式地址。Go 规定每个桶最多存储 8 个键值对，超出容量则连接一个溢出桶。当溢出桶过多时，会执行一次特殊的等量扩容操作，以确保性能。

chapter_hashing/hash_map.md

@@ -1137,7 +1137,6 @@ index = hash(key) % capacity
         print() {
             let pairSet = this.entries();
             for (const pair of pairSet) {
-                if (!pair) continue;
                 console.info(`${pair.key} -> ${pair.val}`);
             }
         }
@@ -1230,7 +1229,6 @@ index = hash(key) % capacity
         public print() {
             let pairSet = this.entries();
             for (const pair of pairSet) {
-                if (!pair) continue;
                 console.info(`${pair.key} -> ${pair.val}`);
             }
         }

chapter_heap/heap.md

@@ -1151,7 +1151,6 @@ comments: true
         while (true) {
             // 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
             int l = left(i), r = right(i), ma = i;
-            // 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无须继续堆化，跳出
             if (l < size() && maxHeap[l] > maxHeap[ma])
                 ma = l;
             if (r < size() && maxHeap[r] > maxHeap[ma])

chapter_stack_and_queue/queue.md

@@ -1107,7 +1107,7 @@ comments: true
         // 拷贝链表中的数据到数组
         int i;
         ListNode *node;
-        for (i = 0, node = queue->front; i < queue->queSize && queue->front != queue->rear; i++) {
+        for (i = 0, node = queue->front; i < queue->queSize; i++) {
             arr[i] = node->val;
             node = node->next;
         }

chapter_tree/avl_tree.md

@@ -34,10 +34,10 @@ AVL 树既是二叉搜索树也是平衡二叉树，同时满足这两类二叉
     class TreeNode:
         """AVL 树节点类"""
         def __init__(self, val: int):
-            self.val: int = val                    # 节点值
-            self.height: int = 0                   # 节点高度
-            self.left: Optional[TreeNode] = None   # 左子节点引用
-            self.right: Optional[TreeNode] = None  # 右子节点引用
+            self.val: int = val                 # 节点值
+            self.height: int = 0                # 节点高度
+            self.left: TreeNode | None = None   # 左子节点引用
+            self.right: TreeNode | None = None  # 右子节点引用
     ```
 
 === "C++"

chapter_tree/binary_tree.md

@@ -12,9 +12,9 @@ comments: true
     class TreeNode:
         """二叉树节点类"""
         def __init__(self, val: int):
-            self.val: int = val                   # 节点值
-            self.left: Optional[TreeNode] = None  # 左子节点引用
-            self.right: Optional[TreeNode] = None # 右子节点引用
+            self.val: int = val                # 节点值
+            self.left: TreeNode | None = None  # 左子节点引用
+            self.right: TreeNode | None = None # 右子节点引用
     ```
 
 === "C++"

overrides/home.html

@@ -1,417 +0,0 @@
-
-{% extends "main.html" %}
-
-<!-- Render hero under tabs -->
-{% block tabs %}
-  {{ super() }}
-
-  <!-- Additional styles for landing page -->
-<style>
-
-/* Apply box shadow on smaller screens that don't display tabs */
-@media only screen and (max-width: 1220px) {
-  .md-header {
-    box-shadow: 0 0 .2rem rgba(0,0,0,.1),0 .2rem .4rem rgba(0,0,0,.2);
-    transition: color 250ms,background-color 250ms,box-shadow 250ms;
-  }
-}
-
-/* Hide main content for now */
-.md-content {
-  display: none;
-}
-
-/* Hide table of contents */
-@media screen and (min-width: 60em) {
-  .md-sidebar--secondary {
-    display: none;
-  }
-}
-
-/* Hide navigation */
-@media screen and (min-width: 76.25em) {
-  .md-sidebar--primary {
-    display: none;
-  }
-}
-
-/* Get started button */
-.md-typeset .md-button--primary {
-    color: var(--md-primary-fg-color);
-    background-color: var(--md-primary-bg-color);
-    border-color: var(--md-primary-bg-color);
-}
-.md-typeset .md-button--primary:hover {
-  color: var(--md-primary-bg-color);
-  background-color: var(--md-primary-fg-color);
-  border-color: var(--md-primary-bg-color);
-}
-
-.tx-hero {
-  max-width: 700px;
-  display: flex;
-  padding: .4rem;
-  margin: 0 auto;
-  text-align: center;
-}
-.tx-hero h1 {
-  font-weight: 700;
-  font-size: 38px;
-  line-height: 46px;
-  color: rgb(38, 38, 38);
-}
-.tx-hero p {
-  color: rgb(92, 92, 92);
-  font-weight: 400;
-  font-size: 20px;
-  line-height: 32px;
-}
-.tx-hero__image {
-  max-width: 300px;
-  min-width: 300px;
-  width: 100%;
-  height: auto;
-  margin: 0 auto;
-  display: flex;
-  align-items: stretch;
-}
-
-.tx-hero__image img {
-  width: 100%;
-  height: 100%;
-  min-width: 0;
-}
-
-/* Secondary content styles */
-.secondary-section {
-  background: rgb(245, 245, 245) none repeat scroll 0% 0%;
-  border-top: 1px solid rgb(222, 222, 222);
-  border-bottom: 1px solid rgb(222, 222, 222)
-}
-@media screen and (max-width: 1012px) {
-  .secondary-section {
-    display: block;
-  }
-}
-
-.secondary-section .g {
-  position: relative;
-  margin-left: auto;
-  margin-right: auto;
-  padding: 0px 100px;
-  max-width: 1280px;
-}
-
-.secondary-section .g .section {
-  font-size: 18px;
-  font-weight: 400;
-  line-height: 30px;
-  letter-spacing: normal;
-  padding: 88px 0px 116px;
-}
-
-.secondary-section .g .section.follow {
-  padding-top: 0px;
-}
-
-
-.secondary-section .g .section .component-wrapper {
-  display: flex;
-  -moz-box-align: center;
-  align-items: center;
-}
-
-@media screen and (max-width: 1012px) {
-  .secondary-section .g .section .component-wrapper {
-    display: block;
-  }
-}
-
-.secondary-section .g .section .component-wrapper h3 {
-  color: rgb(38, 38, 38);
-  font-size: 36px;
-  font-weight: 700;
-  line-height: 46px;
-  letter-spacing: normal;
-  margin-bottom: 12px;
-}
-
-.secondary-section .g .section .component-wrapper h4 {
-  color: rgb(38, 38, 38);
-}
-
-.secondary-section .g .section .component-wrapper p {
-  color: rgb(92, 92, 92);
-  font-size: 18px;
-  font-weight: 400;
-  line-height: 30px;
-  letter-spacing: normal;
-  margin-bottom: 16px;
-}
-
-.secondary-section .g .section .component-wrapper .image-wrapper {
-  margin-bottom: 12px;
-  overflow: hidden;
-  border-radius: 8px;
-  margin-top: 48px;
-  border: 1px solid rgb(222, 222, 222);
-  box-shadow: rgba(202, 202, 202, 0.15) 0px 0px 0px 6px;
-  max-width: 600px;
-  width: 100%;
-  height: auto;
-  margin: 0 auto;
-  display: flex;
-  align-items: stretch;
-}
-
-.image-wrapper img {
-  width: 100%;
-  height: 100%;
-  min-width: 0;
-}
-
-.secondary-section .g .section .component-wrapper .first-column {
-  padding-right: 100px;
-  flex: 0 1 auto;
-  height: auto;
-  width: 50%;
-}
-
-@media screen and (max-width: 1012px) {
-  .secondary-section .g .section .component-wrapper .first-column {
-    padding-right: 0px;
-    width: 100%;
-    margin-bottom: 32px;
-  }
-}
-
-.secondary-section .g .section .component-wrapper .second-column {
-  flex: 0 1 auto;
-  height: auto;
-  width: 50%;
-}
-@media screen and (max-width: 1012px) {
-  .secondary-section .g .section .component-wrapper .second-column {
-    width: 100%;
-    margin-bottom: 32px;
-  }
-}
-
-.secondary-section .g .section .component-wrapper .responsive-grid {
-  display: grid;
-  width: 100%;
-  grid-template-columns: repeat(1, 1fr);
-  gap: 2rem;
-}
-@media screen and (min-width: 64rem) {
-  .secondary-section .g .section .component-wrapper .responsive-grid {
-    grid-template-columns: repeat(3, 1fr);
-  }
-}
-
-.secondary-section .g .section .component-wrapper .responsive-grid a.card-wrapper {
-  text-decoration: none;
-  transition: none;
-  background: none;
-  padding: 0;
-}
-
-.secondary-section .g .section .component-wrapper .responsive-grid .card {
-  position: relative;
-  background-color:  #fff none repeat scroll 0% 0%;
-  padding: 1.5rem;
-  display: flex;
-  flex-direction: row;
-  -moz-box-align: center;
-  align-items: center;
-  height: 100%;
-  -moz-box-pack: start;
-  justify-content: flex-start;
-  box-shadow: rgba(0, 0, 0, 0.09) 0.3125rem 0.3125rem 0px -0.0625rem, rgba(0, 0, 0, 0.15) 0px 0.25rem 0.5rem 0px;
-  transition: all 0.6s cubic-bezier(0.165, 0.84, 0.44, 1) 0s;
-}
-.secondary-section .g .section .component-wrapper .responsive-grid .card:hover {
-  box-shadow: rgba(0, 0, 0, 0.2) 0.3125rem 0.3125rem 0px -0.0625rem, rgba(0, 0, 0, 0.26) 0px 0.25rem 0.5rem 0px;
-}
-
-@media screen and (min-width: 75rem) {
-  .secondary-section .g .section .component-wrapper .responsive-grid .card {
-    padding: 2rem 2.5rem;
-  }
-}
-@media screen and (min-width: 36rem) {
-  .secondary-section .g .section .component-wrapper .responsive-grid .card {
-    padding: 1rem 1.5rem;
-  }
-}
-
-.secondary-section .g .section .component-wrapper .responsive-grid .card .logo {
-  margin-right: 0.75rem;
-  width: 1.2rem;
-  min-width: 1.2rem;
-}
-
-.secondary-section .g .section .component-wrapper .responsive-grid .card .card-content {
-  display: flex;
-  flex: 1 1 0%;
-  flex-direction: column;
-  width: 100%;
-}
-
-.secondary-section .g .section .component-wrapper .responsive-grid .card .card-content h5 {
-  color: rgb(61, 61, 61);
-  margin: 0;
-}
-
-.secondary-section .g .section .component-wrapper .responsive-grid .card .card-content p {
-  margin-top: 0.25em;
-  margin-bottom: 0;
-  color: rgb(92, 92, 92);
-  font-size: 0.65rem;
-  font-weight: 300;
-  line-height: normal;
-}
-
-.secondary-section .g .section .component-wrapper .responsive-grid .card .card-content code {
-  background: rgba(0, 0, 0, 0.05) none repeat scroll 0% 0%;
-  padding: 2px 6px;
-  border-radius: 4px;
-}
-
-
-.component-wrapper span.em {
-  color: rgb(61, 61, 61);
-}
-
-.component-wrapper a {
-  transition: color 125ms;
-  color: rgb(61, 61, 61);
-  background: rgba(0, 0, 0, 0.05) none repeat scroll 0% 0%;
-  padding: 2px 6px;
-  margin: 0px 1px;
-  border-radius: 4px;
-  display: inline;
-  cursor: pointer;
-  font-weight: 600;
-}
-
-.component-wrapper a:hover {
-  color: var(--md-typeset-a-color);
-  background: var(--md-accent-fg-color--transparent);
-}
-
-</style>
-
-  <!-- Hero for landing page -->
-  <div class="md-container">
-    <div class="tx-hero__image">
-      <img
-        src="{{config.site_url}}index.assets/conceptual_rendering.png"
-        alt=""
-        draggable="false"
-      >
-    </div>
-  </div>
-
-  <div class="md-container tx-hero">
-    <div class="md-grid md-typeset">
-      <div class="md-main__inner">
-        <div>
-          <h2>动画图解、一键运行的数据结构与算法教程</h2>
-          <p>AWS Copilot is an open source command line interface that makes it easy for developers to <span class="em">build</span>,
-            <span class="em">release</span>, and <span class="em">operate</span> production ready containerized applications on AWS App Runner, Amazon ECS, and AWS Fargate.
-          </p>
-          <a
-            href="chapter_preface/"
-            title="Get Started"
-            class="md-button md-button--primary"
-          >
-            开始阅读
-            <svg width="11" height="10" viewBox="0 0 11 10" fill="none" style="margin-left:2px"><path d="M1 5.16772H9.5M9.5 5.16772L6.5 1.66772M9.5 5.16772L6.5 8.66772" stroke="currentColor" stroke-width="2" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round"></path></svg>
-          </a>
-        </div>
-      </div>
-    </div>
-  </div>
-
-  <div class="md-container secondary-section">
-    <div class="g">
-      <!-- Architecture as building blocks -->
-      <div class="section">
-        <div class="component-wrapper">
-          <div class="first-column">
-            <h3>全书动画图解</h3>
-            <p>
-              内容清晰易懂、学习曲线平滑</br>电脑、平板、手机全终端阅读
-            </p>
-          </div>
-          <div class="second-column">
-            <div class="image-wrapper">
-              <img
-                src="{{config.site_url}}index.assets/animation.gif"
-                alt=""
-                draggable="false"
-              >
-            </div>
-          </div>
-        </div>
-      </div>
-
-      <!-- Continuous delivery -->
-      <div class="section follow">
-        <div class="component-wrapper">
-          <div class="first-column">
-            <h3>Continuous delivery</h3>
-            <p>
-              No need to worry about gluing Copilot commands in a script to create an automated release process.
-              Copilot provides commands to create multiple deployment <a href="docs/concepts/environments/">environments</a> in separate AWS accounts and regions,
-              as well as creating an AWS CodePipeline <a href="docs/concepts/pipelines/">pipeline</a> to build your container images, deploy your services, and
-              run automated tests.
-            </p>
-          </div>
-          <div class="second-column">
-            <div class="image-wrapper">
-              <img
-                src="{{config.site_url}}assets/images/copilot-env-init.png"
-                alt=""
-                draggable="false"
-              >
-            </div>
-          </div>
-        </div>
-      </div>
-
-      <!-- Operations -->
-      <div class="section follow">
-        <div class="component-wrapper">
-          <div class="first-column">
-            <h3>Operations is part of the workflow</h3>
-            <p>
-              Modeling, provisioning, and deploying services are only part of the application lifecycle for the developer.
-              Copilot also supports workflows around troubleshooting and debugging to help when things go wrong. <a href="docs/commands/svc-logs/">Tail
-              your logs</a>, <a href="docs/commands/svc-exec">get a shell</a> to a running container, <a href="docs/commands/svc-status/">view the health</a> of your services
-              from the comfort of your terminal.
-            </p>
-          </div>
-          <div class="second-column">
-            <div class="image-wrapper">
-              <img
-                src="{{config.site_url}}assets/images/copilot-svc-status.png"
-                alt=""
-                draggable="false"
-              >
-            </div>
-          </div>
-        </div>
-      </div>
-    </div>
-  </div>
-{% endblock %}
-
-<!-- Content -->
-{% block content %}{% endblock %}
-
-<!-- Application footer -->
-{% block footer %}
-  {{ super() }}
-{% endblock %}

overrides/partials/comments.html

@@ -1,5 +1,5 @@
 {% if page.meta.comments %}
-  <h2 id="__comments">{{ lang.t("meta.comments") }}</h2>
+  <h5 align="center" id="__comments">{{ "欢迎你提出疑问或建议" }}</h5>
   <!-- Insert generated snippet here -->
   <script 
     src="https://giscus.app/client.js"

overrides/partials/content.html

@@ -0,0 +1,110 @@
+<!--
+  Copyright (c) 2016-2023 Martin Donath <martin.donath@squidfunk.com>
+
+  Permission is hereby granted, free of charge, to any person obtaining a copy
+  of this software and associated documentation files (the "Software"), to
+  deal in the Software without restriction, including without limitation the
+  rights to use, copy, modify, merge, publish, distribute, sublicense, and/or
+  sell copies of the Software, and to permit persons to whom the Software is
+  furnished to do so, subject to the following conditions:
+
+  The above copyright notice and this permission notice shall be included in
+  all copies or substantial portions of the Software.
+
+  THE SOFTWARE IS PROVIDED "AS IS", WITHOUT WARRANTY OF ANY KIND, EXPRESS OR
+  IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO THE WARRANTIES OF MERCHANTABILITY,
+  FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE AND NON-INFRINGEMENT. IN NO EVENT SHALL THE
+  AUTHORS OR COPYRIGHT HOLDERS BE LIABLE FOR ANY CLAIM, DAMAGES OR OTHER
+  LIABILITY, WHETHER IN AN ACTION OF CONTRACT, TORT OR OTHERWISE, ARISING
+  FROM, OUT OF OR IN CONNECTION WITH THE SOFTWARE OR THE USE OR OTHER DEALINGS
+  IN THE SOFTWARE.
+-->
+
+<!-- Tags -->
+{% if "material/tags" in config.plugins and tags %}
+  {% include "partials/tags.html" %}
+{% endif %}
+
+<!-- Actions -->
+{% include "partials/actions.html" %}
+
+<!--
+  Hack: check whether the content contains a h1 headline. If it doesn't, the
+  page title (or respectively site name) is used as the main headline.
+-->
+{% if "\x3ch1" not in page.content %}
+  <h1>{{ page.title | d(config.site_name, true)}}</h1>
+{% endif %}
+
+<!-- Page content -->
+{{ page.content }}
+
+<!-- Source file information -->
+{% if page.meta and (
+  page.meta.git_revision_date_localized or
+  page.meta.revision_date
+) %}
+  {% include "partials/source-file.html" %}
+{% endif %}
+
+<!-- Was this page helpful? -->
+{% include "partials/feedback.html" %}
+
+<!-- Previous and next pages link -->
+<nav
+class="md-footer__inner md-grid"
+aria-label="{{ lang.t('footer') }}"
+{{ hidden }}
+>
+
+<!-- Link to previous page -->
+{% if page.previous_page %}
+  {% set direction = lang.t("footer.previous") %}
+  <a
+    href="{{ page.previous_page.url | url }}"
+    class="md-footer__link md-footer__link--prev"
+    aria-label="{{ direction }}: {{ page.previous_page.title | e }}"
+    rel="prev"
+  >
+    <div class="md-footer__button md-icon">
+      {% set icon = config.theme.icon.previous or "material/arrow-left" %}
+      {% include ".icons/" ~ icon ~ ".svg" %}
+    </div>
+    <div class="md-footer__title">
+      <span class="md-footer__direction">
+        {{ direction }}
+      </span>
+      <div class="md-ellipsis">
+        {{ page.previous_page.title }}
+      </div>
+    </div>
+  </a>
+{% endif %}
+
+<!-- Link to next page -->
+{% if page.next_page %}
+  {% set direction = lang.t("footer.next") %}
+  <a
+    href="{{ page.next_page.url | url }}"
+    class="md-footer__link md-footer__link--next"
+    aria-label="{{ direction }}: {{ page.next_page.title | e }}"
+    rel="next"
+  >
+    <div class="md-footer__title">
+      <span class="md-footer__direction">
+        {{ direction }}
+      </span>
+      <div class="md-ellipsis">
+        {{ page.next_page.title }}
+      </div>
+    </div>
+    <div class="md-footer__button md-icon">
+      {% set icon = config.theme.icon.next or "material/arrow-right" %}
+      {% include ".icons/" ~ icon ~ ".svg" %}
+    </div>
+  </a>
+{% endif %}
+</nav>
+
+<!-- Comment system -->
+{% include "partials/comments.html" %}

overrides/partials/footer.html

@@ -0,0 +1,36 @@
+<!--
+  Copyright (c) 2016-2023 Martin Donath <martin.donath@squidfunk.com>
+
+  Permission is hereby granted, free of charge, to any person obtaining a copy
+  of this software and associated documentation files (the "Software"), to
+  deal in the Software without restriction, including without limitation the
+  rights to use, copy, modify, merge, publish, distribute, sublicense, and/or
+  sell copies of the Software, and to permit persons to whom the Software is
+  furnished to do so, subject to the following conditions:
+
+  The above copyright notice and this permission notice shall be included in
+  all copies or substantial portions of the Software.
+
+  THE SOFTWARE IS PROVIDED "AS IS", WITHOUT WARRANTY OF ANY KIND, EXPRESS OR
+  IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO THE WARRANTIES OF MERCHANTABILITY,
+  FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE AND NON-INFRINGEMENT. IN NO EVENT SHALL THE
+  AUTHORS OR COPYRIGHT HOLDERS BE LIABLE FOR ANY CLAIM, DAMAGES OR OTHER
+  LIABILITY, WHETHER IN AN ACTION OF CONTRACT, TORT OR OTHERWISE, ARISING
+  FROM, OUT OF OR IN CONNECTION WITH THE SOFTWARE OR THE USE OR OTHER DEALINGS
+  IN THE SOFTWARE.
+-->
+
+<!-- Footer -->
+<footer class="md-footer">
+  <!-- Further information -->
+  <div class="md-footer-meta md-typeset">
+    <div class="md-footer-meta__inner md-grid">
+      {% include "partials/copyright.html" %}
+
+      <!-- Social links -->
+      {% if config.extra.social %}
+        {% include "partials/social.html" %}
+      {% endif %}
+    </div>
+  </div>
+</footer>